Em um circuito elétrico, tem-se que o gerador fornece uma voltagem constante de E= 60V, um capacitor com capacitância de 0,05 F e um resistor com uma resistência de 5 ohm. Sabe-se que esse circuito pode ser modelado matematicamente por meio da seguinte equação diferencial: R dQ/dt + Q/C = E(t), onde Q é a carga medida em coulombs. Dado que Q(0) = 0 C, assinale a alternativa correta.
(a) A função corrente é expressa por I(t) = 12 e^-4t.
(b) O fator integrante da EDO é e^20t.
© A função carga é expressa por Q(t) = 3 - 3 e^-20t.
(d) O fator integrante da EDO é e^-4t.
(e) A EDO é uma equação linear de segunda ordem.
(a) A função corrente é expressa por I(t) = 12 e^-4t.
(b) O fator integrante da EDO é e^20t.
© A função carga é expressa por Q(t) = 3 - 3 e^-20t.
(d) O fator integrante da EDO é e^-4t.
(e) A EDO é uma equação linear de segunda ordem.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um circuito elétrico com um gerador de 60V, um capacitor de 0,05 F e um resistor de 5 ohms. A equação que descreve esse circuito é uma equação diferencial:
onde $ Q $ é a carga. Nosso objetivo é analisar as alternativas e identificar qual delas está correta com base nessa equação. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem e determinar o fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixar mais claro:
Simplificando
:
Agora, dividimos toda a equação por 5 para deixá-la no formato padrão:
Passo 3
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem do tipo:
onde $ P(t) = 4 $ e $ G(t) = 12 $. Para resolver, precisamos encontrar o fator integrante $ \mu(t) $, que é dado por:
Substituindo $ P(t) $:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(t)Q $:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a $ t $:
Calculando a integral:
Dividindo ambos os lados por $ e^{4t} $:
Passo 6
Aplicamos a condição inicial $ Q(0) = 0 $:
Portanto, a solução da equação é:
Resposta
A alternativa correta é:
(d) O fator integrante da EDO é $ e^{-4t} $.