Em um circuito elétrico, tem-se que o gerador fornece uma voltagem constante de E= 60V, um capacitor com capacitância de 0,05 F e um resistor com uma resistência de 5 ohm. Sabe-se que esse circuito pode ser modelado matematicamente por meio da seguinte equação diferencial: R dQ/dt + Q/C = E(t), onde Q é a carga medida em coulombs. Dado que Q(0) = 0 C, assinale a alternativa correta.
(a) A função corrente é expressa por I(t) = 12 e^-4t.
(b) O fator integrante da EDO é e^20t.
© A função carga é expressa por Q(t) = 3 - 3 e^-20t.
(d) O fator integrante da EDO é e^-4t.
(e) A EDO é uma equação linear de segunda ordem.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um circuito elétrico com um gerador de 60V, um capacitor de 0,05 F e um resistor de 5 ohms. A equação que descreve esse circuito é uma equação diferencial:
R dQdt + QC = E(t)
onde $ Q $ é a carga. Nosso objetivo é analisar as alternativas e identificar qual delas está correta com base nessa equação. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem e determinar o fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixar mais claro:
5 dQdt + Q0,05 = 60
Simplificando Q0,05:
5 dQdt + 20Q = 60
Agora, dividimos toda a equação por 5 para deixá-la no formato padrão:
dQdt + 4Q = 12

Passo 3

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem do tipo:
dQdt + P(t)Q = G(t)
onde $ P(t) = 4 $ e $ G(t) = 12 $. Para resolver, precisamos encontrar o fator integrante $ \mu(t) $, que é dado por:
P(t) = 4
Substituindo $ P(t) $:
G(t) = 12

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^4t dQdt + 4e^4tQ = 12e^4t
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(t)Q $:
mu(t)Q

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a $ t $:
t
Calculando a integral:
e^4t Q = integral 12e^4t dt + C
Dividindo ambos os lados por $ e^{4t} $:
e^4t Q = 3e^4t + C

Passo 6

Aplicamos a condição inicial $ Q(0) = 0 $:
Q(0) = 0
0 = 3 + C e^0
0 = 3 + C
Portanto, a solução da equação é:
C = -3

Resposta

A alternativa correta é:
(d) O fator integrante da EDO é $ e^{-4t} $.

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