Para cada função abaixo calcule, se possivel, os limites:
e
.
f)
f)
Passo 1
Vamos resolver os limites dados para a função
. Isso faz parte do estudo de derivadas parciais em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar aplicar a definição de derivada parcial, que envolve calcular esses limites específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite
. Esse limite representa a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Substituímos a função
na expressão do limite:
Passo 4
Usamos a identidade trigonométrica para a diferença de tangentes:
Aplicando isso:
Passo 5
Substituímos de volta no limite:
Passo 6
Sabemos que
e que
tende para
quando
tende a 0. Então:
Passo 7
Substituindo os limites:
Passo 8
Portanto, a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 9
Agora, vamos calcular o limite
, que representa a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 10
Substituímos a função
na expressão do limite:
Passo 11
Aplicamos a mesma identidade trigonométrica para a diferença de tangentes:
Passo 12
Substituímos de volta no limite:
Passo 13
Sabemos que
e que
tende para
quando
tende a 0. Então:
Passo 14
Substituindo os limites:
Passo 15
Portanto, a derivada parcial de
em relação a
é:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e