Para cada função abaixo calcule, se possivel, os limites: lim h 0 f(x+h, y)-f(x, y)h e lim h 0 f(x, y+h)-f(x, y)h.
f) f(x, y)=tan (x y)

Passo 1

Vamos resolver os limites dados para a função . Isso faz parte do estudo de derivadas parciais em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar aplicar a definição de derivada parcial, que envolve calcular esses limites específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite . Esse limite representa a derivada parcial de em relação a , ou seja, .

Passo 3

Substituímos a função limh 0 tan((x + h)y) - tan(xy)h na expressão do limite:

Passo 4

Usamos a identidade trigonométrica para a diferença de tangentes:
tan A - tan B = sin(A - B)cos A cos B
Aplicando isso:
tan((x + h)y) - tan(xy) = sin(hy)cos((x + h)y) cos(xy)

Passo 5

Substituímos de volta no limite:
limh 0 sin(hy)h cos((x + h)y) cos(xy)

Passo 6

Sabemos que limh 0 sin(hy)h = y e que limh 0 cos((x + h)y) = cos(xy) tende para quando tende a 0. Então:

Passo 7

Substituindo os limites:
y cdot 1cos(xy) cdot cos(xy) = y cdot 1cos^2(xy)

Passo 8

Portanto, a derivada parcial de partial fpartial x = ycos^2(xy) em relação a é:

Passo 9

Agora, vamos calcular o limite , que representa a derivada parcial de em relação a , ou seja, .

Passo 10

Substituímos a função limh 0 tan(x(y + h)) - tan(xy)h na expressão do limite:

Passo 11

Aplicamos a mesma identidade trigonométrica para a diferença de tangentes:
tan(x(y + h)) - tan(xy) = sin(xh)cos(x(y + h)) cos(xy)

Passo 12

Substituímos de volta no limite:
limh 0 sin(xh)h cos(x(y + h)) cos(xy)

Passo 13

Sabemos que limh 0 sin(xh)h = x e que limh 0 cos(x(y + h)) = cos(xy) tende para quando tende a 0. Então:

Passo 14

Substituindo os limites:
x cdot 1cos(xy) cdot cos(xy) = x cdot 1cos^2(xy)

Passo 15

Portanto, a derivada parcial de partial fpartial y = xcos^2(xy) em relação a é:

Resposta

As derivadas parciais da função partial fpartial x = ycos^2(xy) são:
partial fpartial y = xcos^2(xy)
e

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