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Considere a função f(x, y) = { x sen(1/y), y != 0; A, (x, y) = (0, 0) }. Qual deve ser o valor de A, para que f seja continua na origem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função f(x, y) que depende de duas variáveis, x e y. Ela é definida assim: quando y não é zero, , e no ponto específico (0,0), ela vale A. A pergunta é: qual deve ser o valor de A para que a função seja contínua na origem?
Para resolver isso, precisamos entender o conceito de continuidade. Uma função é contínua no ponto se o limite dela quando nos aproximamos desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Então, precisamos encontrar o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) e igualar esse limite a A.

Passo 2

Vamos calcular o limite de quando . Sabemos que a função oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de y ≠ 0. Isso significa que:
Multiplicando todos os lados por |x| (que é sempre positivo), temos:
Agora, usamos o Teorema do Sanduíche (também conhecido como Teorema de Aperfeiçoamento). Sabemos que:
Então, pelo Teorema do Sanduíche, o limite de também é 0 quando .

Resposta

Para que f seja contínua na origem, A deve ser igual a 0.

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