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Considere a função
. Qual deve ser o valor de
, para que
seja continua na origem?
Considere a função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que depende de duas variáveis,
e
. Ela é definida assim: quando
não é zero,
, e no ponto específico
, ela vale
. A pergunta é: qual deve ser o valor de
para que a função seja contínua na origem?
Para resolver isso, precisamos entender o conceito de continuidade. Uma função é contínua no ponto se o limite dela quando nos aproximamos desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Então, precisamos encontrar o limite de
quando
se aproxima de
e igualar esse limite a
.
Passo 2
Vamos calcular o limite de
quando
. Sabemos que a função
oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Isso significa que:
Multiplicando todos os lados por
(que é sempre positivo), temos:
Agora, usamos o Teorema do Sanduíche (também conhecido como Teorema de Aperfeiçoamento). Sabemos que:
Então, pelo Teorema do Sanduíche, o limite de
também é 0 quando
.
Resposta
Para que
seja contínua na origem,
deve ser igual a
.