Para cada função abaixo calcule, se possivel, os limites: lim h 0 f(x+h, y)-f(x, y)h e lim h 0 f(x, y+h)-f(x, y)h.
c) f(x, y)=x^2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos dois limites usando a função . Esses limites são essencialmente as derivadas parciais de em relação a e . Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas usando a definição de limite.

Passo 2

Vamos começar calculando o primeiro limite:
lim h 0 f(x+h, y)-f(x, y)h
Esse limite representa a derivada parcial de f(x+h, y) = (x+h)^2 y^2 em relação a (x+h)^2 y^2 - x^2 y^2h , ou seja, (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2 . Vamos substituir (x^2 + 2xh + h^2) y^2 - x^2 y^2h = x^2 y^2 + 2xh y^2 + h^2 y^2 - x^2 y^2h na expressão:
2xh y^2 + h^2 y^2h = 2x y^2 + h y^2
Agora, substituímos na fração:
lim h 0 (2x y^2 + h y^2) = 2x y^2
Vamos expandir :
Substituindo de volta:
Simplificando:
Agora, tomando o limite quando tende a 0:

Passo 3

Agora vamos calcular o segundo limite:
lim h 0 f(x, y+h)-f(x, y)h
Esse limite representa a derivada parcial de f(x, y+h) = x^2 (y+h)^2 em relação a x^2 (y+h)^2 - x^2 y^2h , ou seja, (y+h)^2 = y^2 + 2yh + h^2 . Vamos substituir x^2 (y^2 + 2yh + h^2) - x^2 y^2h = x^2 y^2 + 2x^2 y h + x^2 h^2 - x^2 y^2h na expressão:
2x^2 y h + x^2 h^2h = 2x^2 y + x^2 h
Agora, substituímos na fração:
lim h 0 (2x^2 y + x^2 h) = 2x^2 y
Vamos expandir :
Substituindo de volta:
Simplificando:
Agora, tomando o limite quando tende a 0:

Resposta

As derivadas parciais da função partial fpartial x = 2x y^2 são:
partial fpartial y = 2x^2 y
e

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