Para cada função abaixo calcule, se possivel, os limites: lim h 0 f(x+h, y)-f(x, y)h e lim h 0 f(x, y+h)-f(x, y)h.
b) f(x, y)=x cos y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e precisa calcular dois limites que estão relacionados às derivadas parciais dessa função. Isso faz parte do cálculo diferencial, onde a gente analisa como a função muda em relação a cada uma das variáveis, mantendo a outra constante. Para resolver, vamos precisar entender o conceito de limite e a definição de derivada parcial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite partial fpartial x = limh 0 f(x+h, y) - f(x, y)h . Esse limite representa a derivada parcial de f(x+h, y) = (x + h) cos y em relação a f(x, y) = x cos y .
A definição da derivada parcial de f(x+h, y) - f(x, y) = (x + h)cos y - x cos y = h cos y em relação a partial fpartial x = limh 0 h cos yh = limh 0 cos y = cos y é:
Vamos substituir e na expressão:
Subtraindo as duas:
Agora, substituímos na definição do limite:
Então, a derivada parcial de em relação a é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite partial fpartial y = limh 0 f(x, y+h) - f(x, y)h . Esse limite representa a derivada parcial de f(x, y+h) = x cos(y + h) em relação a f(x, y) = x cos y .
A definição da derivada parcial de f(x, y+h) - f(x, y) = x cos(y + h) - x cos y = x [cos(y + h) - cos y] em relação a partial fpartial y = limh 0 x [cos(y + h) - cos y]h é:
limh 0 cos(y + h) - cos yh = -sin y
Vamos substituir partial fpartial y = x cdot (-sin y) = -x sin y e na expressão:
Subtraindo as duas:
Agora, substituímos na definição do limite:
Sabemos que:
Portanto:

Resposta

Os limites calculados são:
limh 0 f(x+h, y) - f(x, y)h = cos y
limh 0 f(x, y+h) - f(x, y)h = -x sin y

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