Para cada função abaixo calcule, se possivel, os limites:
e
.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
e precisa calcular dois limites que estão relacionados às derivadas parciais dessa função. Isso faz parte do cálculo diferencial, onde a gente analisa como a função muda em relação a cada uma das variáveis, mantendo a outra constante. Para resolver, vamos precisar entender o conceito de limite e a definição de derivada parcial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite
. Esse limite representa a derivada parcial de
em relação a
.
A definição da derivada parcial de
em relação a
é:
Vamos substituir
e
na expressão:
Subtraindo as duas:
Agora, substituímos na definição do limite:
Então, a derivada parcial de
em relação a
é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite
. Esse limite representa a derivada parcial de
em relação a
.
A definição da derivada parcial de
em relação a
é:
Vamos substituir
e
na expressão:
Subtraindo as duas:
Agora, substituímos na definição do limite:
Sabemos que:
Portanto:
Resposta
Os limites calculados são: