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Considere a função f(x, y) = { (raiz(2*x - y) - 2) / (2*x - y - 4), 2*x - y ≠ 4; A, (x, y) = (2, 0) }
Qual deve ser o valor de A, para que f seja contínua em $(x, y)=(2,0) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é definida de duas formas diferentes. Para , ela é , e quando , ela vale . Queremos descobrir qual é o valor de para que a função seja contínua nesse ponto. Isso envolve entender o conceito de continuidade, que basicamente diz que o limite da função quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de . Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variável: vamos chamar . Assim, quando , temos . A função então fica:
Precisamos encontrar:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão para resolver o limite. A estratégia aqui é racionalizar o numerador, ou seja, multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador ( ) para eliminar a raiz. Fazendo isso, temos:
Podemos simplificar o que está no numerador e no denominador:

Passo 4

Agora, é só calcular o limite dessa expressão simplificada quando se aproxima de 4:

Resposta

Para que seja contínua em , o valor de deve ser .

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