Para cada função abaixo, determine o contradomínio que a torne inversível e expresse sua inversa:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por , onde . O objetivo aqui é determinar qual deve ser o contradomínio para que essa função seja inversível e, depois, encontrar a função inversa .

Passo 2

Para que uma função seja inversível, ela precisa ser injetora, ou seja, cada valor no contradomínio corresponde a no máximo um valor no domínio. No caso de funções que envolvem raízes quadradas, como , elas são monótonas crescentes no intervalo considerado ( ), o que garante que sejam injetoras.

Passo 3

Agora, vamos determinar o contradomínio . A função pega valores de a partir de e vai para valores maiores. Quando , . À medida que aumenta, também aumenta sem limites superiores. Portanto, o contradomínio deve ser o conjunto de todos os números reais não negativos:

Passo 4

Com o contradomínio definido, podemos encontrar a função inversa . Para isso, trocamos por e resolvemos para :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Isolando :
Então, a função inversa é:

Resposta

O contradomínio que torna a função inversível é . A inversa da função é .

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Sejam e duas funções. Mostre que se e são bijetoras, então é bijetora.
Seja . Determine .
Seja . Determine o domínio máximo de .
Use transformações no gráfico para esboçar os gráficos das funções abaixo, destacando quais tipos de transformações estão sendo utilizados.