Para cada função abaixo, determine o contradomínio
que a torne inversível e expresse sua inversa:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por
, onde
. O objetivo aqui é determinar qual deve ser o contradomínio
para que essa função seja inversível e, depois, encontrar a função inversa
.
Passo 2
Para que uma função seja inversível, ela precisa ser injetora, ou seja, cada valor no contradomínio
corresponde a no máximo um valor no domínio. No caso de funções que envolvem raízes quadradas, como
, elas são monótonas crescentes no intervalo considerado (
), o que garante que sejam injetoras.
Passo 3
Agora, vamos determinar o contradomínio
. A função
pega valores de
a partir de
e vai para valores maiores. Quando
,
. À medida que
aumenta,
também aumenta sem limites superiores. Portanto, o contradomínio
deve ser o conjunto de todos os números reais não negativos:
Passo 4
Com o contradomínio definido, podemos encontrar a função inversa
. Para isso, trocamos
por
e resolvemos para
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Isolando
:
Então, a função inversa é:
Resposta
O contradomínio que torna a função inversível é
. A inversa da função é
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
duas funções. Mostre que se
e
são bijetoras, então
é bijetora.
Seja
. Determine
.
Seja
. Determine o domínio máximo de
.
Use transformações no gráfico para esboçar os gráficos das funções abaixo, destacando quais tipos de transformações estão sendo utilizados.