Sejam f: A -> B e g: B -> C duas funções. Mostre que se f e g são bijetoras, então g o f: A -> C é bijetora.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos duas funções, e , e sabemos que ambas são bijetoras. Nosso objetivo é mostrar que a composição dessas duas funções, , também é uma função bijetora. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser bijetora e como funciona a composição de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função bijetora. Uma função é bijetora se ela é simultaneamente injetora (ou seja, cada elemento de é mapeado para um elemento único em ) e sobrejetora (ou seja, todo elemento de tem pelo menos um elemento em que é mapeado para ele). Então, se e são bijetoras, elas têm essas duas propriedades.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a composição de funções, representada por . Isso significa que aplicamos a função primeiro e depois aplicamos a função ao resultado. Então, para cada elemento em , .

Passo 4

Para provar que é bijetora, precisamos mostrar que ela é injetora e sobrejetora.
Injetividade:
Assumamos que . Isso significa que . Como é injetora, concluímos que . E como também é injetora, isso implica que . Portanto, é injetora.
Sobrejetividade:
Para qualquer elemento em , como é sobrejetora, existe um elemento em tal que . E como é sobrejetora, existe um elemento em tal que . Portanto, . Isso mostra que é sobrejetora.

Resposta

Assim, mostramos que é injetora e sobrejetora, ou seja, é uma função bijetora.

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