Sejam
e
duas funções. Mostre que se
e
são bijetoras, então
é bijetora.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos duas funções,
e
, e sabemos que ambas são bijetoras. Nosso objetivo é mostrar que a composição dessas duas funções,
, também é uma função bijetora. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser bijetora e como funciona a composição de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função bijetora. Uma função é bijetora se ela é simultaneamente injetora (ou seja, cada elemento de
é mapeado para um elemento único em
) e sobrejetora (ou seja, todo elemento de
tem pelo menos um elemento em
que é mapeado para ele). Então, se
e
são bijetoras, elas têm essas duas propriedades.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a composição de funções, representada por
. Isso significa que aplicamos a função
primeiro e depois aplicamos a função
ao resultado. Então, para cada elemento
em
,
.
Passo 4
Para provar que
é bijetora, precisamos mostrar que ela é injetora e sobrejetora.
Injetividade:
Assumamos que . Isso significa que
. Como
é injetora, concluímos que
. E como
também é injetora, isso implica que
. Portanto,
é injetora.
Assumamos que
Sobrejetividade:
Para qualquer elemento em
, como
é sobrejetora, existe um elemento
em
tal que
. E como
é sobrejetora, existe um elemento
em
tal que
. Portanto,
. Isso mostra que
é sobrejetora.
Para qualquer elemento
Resposta
Assim, mostramos que
é injetora e sobrejetora, ou seja,
é uma função bijetora.
Exercícios relacionados
Seja
. Determine
.
Considere as funções
e
. Determine o domínio máximo de definição para
e
.
Para cada função abaixo, determine o contradomínio
que a torne inversível e expresse sua inversa:
Seja
. Determine o domínio máximo de
.