Para cada função abaixo, determine f^n(x), onde
f(x) = sen(2 x), n = 50.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a ª derivada da função . Vamos usar conceitos de cálculo de derivadas de funções trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como derivar funções trigonométricas básicas. A derivada de é , e a derivada de é . Além disso, quando temos uma função composta como , aplicamos a regra da cadeia. A derivada de é .

Passo 3

Vamos observar um padrão ao derivar repetidamente :
Percebemos que a cada derivada, a função alterna entre e , e o coeficiente é multiplicado por .

Passo 4

Notamos que as derivadas se repetem a cada 4 passos com sinais alternados. Ou seja:
De maneira geral, a -ésima derivada de será da forma , ajustando o sinal conforme o ciclo de 4 derivadas.

Passo 5

Para encontrar , vamos ver onde o número se encaixa no ciclo de 4 derivadas:
dividido por ciclos completos e sobra derivadas. Isso significa que a ª derivada será equivalente à segunda derivada no ciclo, que é , mas precisamos considerar o coeficiente acumulado.

Passo 6

O coeficiente acumulado após derivadas é 2^50. Além disso, como sobraram derivadas no ciclo, a função será . Portanto, combinando tudo:

Resposta

A ª derivada de é .

Exercícios relacionados

Para cada função abaixo, determine f^n(x), onde
f(x) = x^5 - 2*x^3 + x, n = 2.
Derive cada um das funções abaixo.
f(x) = ln(x^2 + 2x)
Usando a definiçãoo formal de limite,proureque
lim x 3(4 x-5)=7
Resolva as seguintes desigualdades.
(2x-1)/(x+1)<0