Para cada função abaixo, determine
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a
ª derivada da função . Vamos usar conceitos de cálculo de derivadas de funções trigonométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como derivar funções trigonométricas básicas. A derivada de é
, e a derivada de
é . Além disso, quando temos uma função composta como , aplicamos a regra da cadeia. A derivada de é
.
Passo 3
Vamos observar um padrão ao derivar repetidamente :
Percebemos que a cada derivada, a função alterna entre e
, e o coeficiente é multiplicado por
.
Passo 4
Notamos que as derivadas se repetem a cada 4 passos com sinais alternados. Ou seja:
- …
De maneira geral, a
-ésima derivada de será da forma , ajustando o sinal conforme o ciclo de 4 derivadas.
Passo 5
Para encontrar
, vamos ver onde o número
se encaixa no ciclo de 4 derivadas:
Passo 6
O coeficiente acumulado após
derivadas é
. Além disso, como sobraram
derivadas no ciclo, a função será . Portanto, combinando tudo:
Resposta
A
ª derivada de é .
Exercícios relacionados
Para cada função abaixo, determine
, onde
.
Derive cada um das funções abaixo.
Usando a definiçãoo formal de
Resolva as seguintes desigualdades.