Usando a definiçãoo formal de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer provar que o limite de
quando
se aproxima de 3 é igual a 7. Isso envolve o conceito de limite na matemática, especificamente usando a definição formal de limite, que utiliza os conceitos de
(epsilon) e
(delta) para fazer essa prova.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição formal de limite. Dizemos que:
significa que para todo
, existe um
tal que, se
, então
.
No nosso caso, temos
,
e queremos provar que
.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição ao nosso problema. Queremos que:
Substituindo
por
, temos:
Então, queremos que
.
Passo 4
Para garantir que
, podemos manipular a desigualdade:
Isso nos dá uma escolha natural para
. Podemos definir:
Passo 5
Então, sempre que
, onde
, teremos:
Isso satisfaz a definição formal do limite.
Resposta
Portanto, usando a definição formal de limite, provamos que:
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Para cada função abaixo, determine
, onde
.
Para cada função abaixo, determine
, onde
.
Resolva as seguintes desigualdades.
Resolva as seguintes desigualdades.