Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função
. Vamos precisar usar conceitos de limites, interceptos com os eixos, assíntotas e continuidade. Basicamente, vamos descobrir como essa função se comporta e quais são suas principais características para desenhar o gráfico certinho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função. Ela é composta por três valores absolutos:
,
e
. Os valores absolutos fazem com que a função mude de comportamento em determinados pontos, chamados de pontos críticos. Vamos identificar esses pontos antes de tudo.
Passo 3
Os pontos onde cada valor absoluto muda de comportamento são:
- Para
, o ponto crítico é . - Para
, o ponto crítico é . - Para
, o ponto crítico é .
Então, temos que analisar a função em três intervalos diferentes:
,
,
e
.
Passo 4
Vamos calcular
em cada intervalo:
-
Para
: Então,. -
Para
: Então,. -
Para
: Então,. -
Para
: Então,.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os interceptos com os eixos:
-
Intercepto com o eixo Y (quando
): Então, o intercepto com o eixo Y é. -
Interceptos com o eixo X (quando
):
Vamos resolver. Observando a função, vemos que a soma de valores absolutos será sempre positiva ou zero. Para que seja zero, cada termo dentro dos valores absolutos deve ser zero: No entanto, não existe umque satisfaça as três equações ao mesmo tempo. Portanto, a função não intercepta o eixo X.
Passo 6
Vamos verificar se existem assíntotas horizontais ou verticais:
-
Assíntotas verticais:
Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende ao infinito. Como estamos lidando com uma função composta por valores absolutos, que são funções contínuas e não têm divisões por zero, não existem assíntotas verticais. -
Assíntotas horizontais:
Observando os limites quandotende ao infinito: Como ambos os limites tendem ao infinito, não existem assíntotas horizontais.
Passo 7
Vamos discutir a continuidade da função
:
Funções compostas por valores absolutos são contínuas em todo o seu domínio, a menos que haja uma divisão por zero ou outra descontinuidade. No nosso caso, não há tais situações, então a função
é contínua em todos os valores de
.
Passo 8
Agora, vamos resumir as informações para esboçar o gráfico:
- Interseção com o eixo Y:
- Pontos críticos onde a função muda de comportamento:
, , - Expressões da função em cada intervalo:
-
: -
: -
: -
:
-
- Sem interceptos com o eixo X e sem assíntotas
Resposta
O gráfico da função
é contínuo em todo o domínio, sem interceptos com o eixo X e sem assíntotas. Ele intersecta o eixo Y no ponto
e muda de inclinação nos pontos
,
e
. As expressões lineares em cada intervalo determinam as partes do gráfico, formando um polígono com vértices nesses pontos críticos.
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