Em cada um dos itens abaixo determine uma série de potências para representar f(x) e especifique o raio de convergência f(x)=1/(1-x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar uma série de potências que represente a função e também descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é super útil para esse tipo de função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a série geométrica. A série geométrica é dada por:
onde:
  • é o primeiro termo da série,
  • é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, queremos que a soma da série geométrica seja igual a . Comparando com a fórmula da série geométrica, vemos que:
Então, substituindo esses valores na série geométrica, temos:

Passo 3

Agora, precisamos determinar o raio de convergência dessa série. O raio de convergência indica para quais valores de a série converge, ou seja, para quais ela soma a função .
Para a série geométrica , a série converge quando . No nosso caso, , então a condição para a convergência é:
Isso significa que a série de potências representa quando está dentro do intervalo de convergência .

Resposta

A série de potências que representa é:
E o raio de convergência dessa série é 1, ou seja, a série converge para .

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