Em cada um dos itens abaixo determine uma série de potências para representar
e especifique o raio de convergência
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar uma série de potências que represente a função
e também descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é super útil para esse tipo de função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a série geométrica. A série geométrica é dada por:
onde:
-
é o primeiro termo da série, -
é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, queremos que a soma da série geométrica seja igual a
. Comparando com a fórmula da série geométrica, vemos que:
Então, substituindo esses valores na série geométrica, temos:
Passo 3
Agora, precisamos determinar o raio de convergência dessa série. O raio de convergência indica para quais valores de
a série converge, ou seja, para quais
ela soma a função
.
Para a série geométrica
, a série converge quando
. No nosso caso,
, então a condição para a convergência é:
Isso significa que a série de potências
representa
quando
está dentro do intervalo de convergência
.
Resposta
A série de potências que representa
é:
E o raio de convergência dessa série é 1, ou seja, a série converge para
.
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Para cada uma das séries de potências de
abaixo determine o intervalo de convergência:
Em cada um dos itens abaixo determine uma série de potências para representar
e especifique o raio de convergência
Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.