Use séries de potências para obter uma aproximação, com quatro decimais, de cada uma das integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando séries de potências. Nosso objetivo é aproximar o valor dessa integral com quatro casas decimais. Para isso, vamos precisar conhecer a série de Taylor da função
e adaptá-la para
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor para
em torno de 0 é:
Essa série converge para
. Queremos adaptar essa série para
, substituindo
por
:
Passo 3
Agora, vamos integrar essa série termo a termo de 0 a
:
Passo 4
Calculando a integral de cada termo:
Substituindo de volta na série:
Passo 5
Vamos calcular os primeiros termos da série até que a contribuição adicional seja menor que
, garantindo assim a precisão de quatro casas decimais.
Para
:
Para
:
Para
:
Como o terceiro termo já é menor que
, podemos parar aqui.
Resposta
A aproximação da integral é
.
Exercícios relacionados
Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
Em cada um dos itens abaixo determine uma série de potências para representar
e especifique o raio de convergência
Calcule as derivadas das funções vetoriais
(b)
(b)
Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.