Para cada função vetorial abaixo determine a reta tangente vec(r)(t) no ponto t0 indicado:
b) f(t) = ln(t - 1)i + raiz(t - 2)j - e^(2 - t)k, t0 = 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial e precisamos achar a reta tangente a essa função no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial aplicados a funções vetoriais, como derivadas e avaliação em pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor posição . Isso significa substituir na função original:
Calculando cada componente:

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada da função , que nos dará o vetor velocidade . Vamos derivar cada componente:
Calculando cada derivada:

Passo 4

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto :

Passo 5

Com o vetor posição e o vetor velocidade , podemos montar a equação da reta tangente. A reta tangente no ponto é dada por:
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

A reta tangente à função vetorial no ponto é

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