Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
e
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
e também calcular o valor dessa derivada em
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as regras de derivação de funções compostas e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo para facilitar a derivação. A função é:
Lembre-se que
, então podemos reescrever:
Passo 3
Aplicando a propriedade do logaritmo que diz
:
Passo 4
Agora, precisamos derivar
.
Vamos usar a regra da cadeia para derivar uma função composta. A derivada de
é
.
Então,
Passo 5
Vamos derivar
. Para isso, usamos a regra do quociente:
Se
, então a derivada é
.
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 6
Simplificando o numerador:
Portanto,
Passo 7
Voltando à derivada de
:
Simplificando:
Passo 8
Observe que
, pela identidade trigonométrica.
Então,
Resposta
A derivada da função é
. Portanto, avaliando em
:
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
,
e
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
e
Para cada um dos itens a seguir, determinar:
, sendo
Encontre a expressão da segunda derivada das funções dos seguintes itens da questão indicada e o seu valor nos pontos indicados: No ponto de abscissa
, no item b) da questão 10