Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas: e

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função e também calcular o valor dessa derivada em . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as regras de derivação de funções compostas e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo para facilitar a derivação. A função é:
Lembre-se que , então podemos reescrever:

Passo 3

Aplicando a propriedade do logaritmo que diz :

Passo 4

Agora, precisamos derivar .
Vamos usar a regra da cadeia para derivar uma função composta. A derivada de é .
Então,

Passo 5

Vamos derivar . Para isso, usamos a regra do quociente:
Se , então a derivada é .
Aqui, e .
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 6

Simplificando o numerador:
Portanto,

Passo 7

Voltando à derivada de :
Simplificando:

Passo 8

Observe que , pela identidade trigonométrica.
Então,

Resposta

A derivada da função é . Portanto, avaliando em :

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