Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas: , e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função e também o valor dessa derivada quando . Para isso, vamos usar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. Temos um logaritmo natural ( ) aplicado à tangente ( ) de uma expressão mais complicada: . Então, para derivar , precisamos aplicar a regra da cadeia várias vezes, já que a função está aninhada dentro de outras funções.

Passo 3

Vamos lembrar da regra da cadeia: se temos uma função composta , então a derivada é . Aplicando isso aqui, nossa função é , onde e . Então, vamos derivar passo a passo.

Passo 4

Primeiro, vamos derivar . A derivada do logaritmo natural é , então:
Mas , então precisamos derivar em relação a .

Passo 5

Derivando , lembramos que a derivada da tangente é . Então:
Agora, precisamos derivar .

Passo 6

Derivando :
Agora, temos tudo para substituir de volta na expressão de .

Passo 7

Substituindo em :
E agora, voltamos para a expressão de :

Passo 8

Simplificando . Sabemos que e , então:
Mas isso pode ser simplificado ainda mais, mas para fins de clareza, vamos deixar assim.

Passo 9

Portanto, a derivada fica:
Lembrando que .

Passo 10

Agora, vamos calcular . Primeiro, vamos encontrar quando :
Então, .

Passo 11

Também precisamos calcular quando :

Passo 12

Então, substituindo tudo em :

Resposta

A derivada da função é:
E o valor da derivada em é:

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