Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
,
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função
e também o valor dessa derivada quando
. Para isso, vamos usar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. Temos um logaritmo natural (
) aplicado à tangente (
) de uma expressão mais complicada:
. Então, para derivar
, precisamos aplicar a regra da cadeia várias vezes, já que a função está aninhada dentro de outras funções.
Passo 3
Vamos lembrar da regra da cadeia: se temos uma função composta
, então a derivada é
. Aplicando isso aqui, nossa função é
, onde
e
. Então, vamos derivar passo a passo.
Passo 4
Primeiro, vamos derivar
. A derivada do logaritmo natural é
, então:
Mas
, então precisamos derivar
em relação a
.
Passo 5
Derivando
, lembramos que a derivada da tangente é
. Então:
Agora, precisamos derivar
.
Passo 6
Derivando
:
Agora, temos tudo para substituir de volta na expressão de
.
Passo 7
Substituindo
em
:
E agora, voltamos para a expressão de
:
Passo 8
Simplificando
. Sabemos que
e
, então:
Mas isso pode ser simplificado ainda mais, mas para fins de clareza, vamos deixar assim.
Passo 9
Portanto, a derivada
fica:
Lembrando que
.
Passo 10
Agora, vamos calcular
. Primeiro, vamos encontrar
quando
:
Então,
.
Passo 11
Também precisamos calcular
quando
:
Passo 12
Então, substituindo tudo em
:
Resposta
A derivada da função é:
E o valor da derivada em
é:
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Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
e
Determine a derivada das seguintes funções:
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
e
Para cada um dos itens a seguir, determinar:
, sendo