Para cada um dos itens a seguir, determinar:
, sendo
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar a derivada de
em
, ou seja,
. A função
está definida pela equação
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas e a regra da cadeia.
Passo 2
Vamos começar substituindo
na equação dada para encontrar uma relação envolvendo
. Mas, antes disso, precisamos expressar a função
em termos de
.
Passo 3
Reescrevendo a equação:
Queremos encontrar
, então precisamos relacionar os argumentos de
com
.
Passo 4
Vamos definir novas variáveis para simplificar:
- Seja
- Seja
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
:
Calculando as derivadas de
e
:
Substituindo na equação:
Passo 6
Agora, queremos encontrar
. Precisamos que um dos argumentos
ou
seja igual a 3. Vamos resolver para
:
Então, quando
,
. Calculando
para
:
Passo 7
Agora, substituindo
,
, e
na equação derivada:
Simplificando:
Resposta
Dividindo ambos os lados por -2:
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
e
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
,
e
Encontre a expressão da segunda derivada das funções dos seguintes itens da questão indicada e o seu valor nos pontos indicados: No ponto de abscissa
, no item b) da questão 10
Determine a expressão de
, lembrando que
: