Para cada um dos itens a seguir, determinar: f'(3), sendo f(5 + 2 x) + f(2 x^2 + 1) = 4 x^2 + 4 x + 2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar a derivada de em , ou seja, . A função está definida pela equação . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas e a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos começar substituindo na equação dada para encontrar uma relação envolvendo . Mas, antes disso, precisamos expressar a função em termos de .

Passo 3

Reescrevendo a equação:
Queremos encontrar , então precisamos relacionar os argumentos de com .

Passo 4

Vamos definir novas variáveis para simplificar:
  • Seja
  • Seja
Então, a equação fica:

Passo 5

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a :
Calculando as derivadas de e :
Substituindo na equação:

Passo 6

Agora, queremos encontrar . Precisamos que um dos argumentos ou seja igual a 3. Vamos resolver para :
Então, quando , . Calculando para :

Passo 7

Agora, substituindo , , e na equação derivada:
Simplificando:

Resposta

Dividindo ambos os lados por -2:

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