Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função
, que é denotada por
, e depois calcular o valor dessa derivada quando
. Para isso, vamos usar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia, que é muito útil quando temos funções compostas como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Sabemos que a raiz quadrada pode ser escrita como uma potência de
. Então, temos:
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta
é
.
Passo 3
Vamos identificar as funções dentro da composta:
- A função externa
- A função interna
Primeiro, derivamos a função externa em relação a
:
Em seguida, derivamos a função interna em relação a
:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando as derivadas que encontramos:
Podemos simplificar a expressão:
Passo 5
Agora que temos a expressão da derivada
, vamos calcular
. Substituímos
na expressão:
Podemos racionalizar o denominador se preferir:
Resposta
A derivada da função é
e o valor da derivada em
é
.
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Determine a derivada das seguintes funções:
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
e
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
,
e
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e