Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas: e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função , que é denotada por , e depois calcular o valor dessa derivada quando . Para isso, vamos usar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia, que é muito útil quando temos funções compostas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Sabemos que a raiz quadrada pode ser escrita como uma potência de . Então, temos:
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta é .

Passo 3

Vamos identificar as funções dentro da composta:
  • A função externa
  • A função interna
Primeiro, derivamos a função externa em relação a :
Em seguida, derivamos a função interna em relação a :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando as derivadas que encontramos:
Podemos simplificar a expressão:

Passo 5

Agora que temos a expressão da derivada , vamos calcular . Substituímos na expressão:
Podemos racionalizar o denominador se preferir:

Resposta

A derivada da função é e o valor da derivada em é .

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Determine a derivada das seguintes funções:
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas: e
Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas: , e
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