Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas juntos! A questão pede para a gente encontrar as derivadas de uma função que é composta. Aqui, temos onde
. Vamos precisar usar a Regra do Produto e a Regra da Cadeia para calcular
e depois avaliar
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. A função
é o produto de duas funções:
e . Quando temos um produto de funções, usamos a Regra do Produto, que diz:
Aqui,
e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas necessárias:
-
Derivada de
: Sabemos que, então: -
Derivada de :Novamente,
, então:
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra do Produto:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Lembrando que
, podemos substituir de volta:
Simplificando mais:
Passo 6
Agora, vamos encontrar
, ou seja, a derivada avaliada em
.
Substituímos
por
na expressão de
:
Simplificando as potências:
Resposta
A derivada de
é:
E a derivada avaliada em
é: