Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas: y = u sen(u), u = x^2, y' , y'(raiz(x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas juntos! A questão pede para a gente encontrar as derivadas de uma função que é composta. Aqui, temos onde . Vamos precisar usar a Regra do Produto e a Regra da Cadeia para calcular e depois avaliar .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . A função é o produto de duas funções: e . Quando temos um produto de funções, usamos a Regra do Produto, que diz:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias:
  1. Derivada de :
    Sabemos que , então:
  2. Derivada de :
    Novamente, , então:

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra do Produto:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Lembrando que , podemos substituir de volta:
Simplificando mais:

Passo 6

Agora, vamos encontrar , ou seja, a derivada avaliada em .
Substituímos por na expressão de :
Simplificando as potências:

Resposta

A derivada de é:
E a derivada avaliada em é:

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