Para cada uma das funções de transferência mostradas abaixo, determine a localização dos pólos e dos zeros no plano S e em seguida escreva uma expressão para a forma geral da resposta ao degrau unitário sem resolver utilizando a Transformada de Laplace inversa. Enuncie a natureza de cada uma das respostas (superamortecida, subamortecida, etc.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente analisar a função de transferência:
Aqui, estamos lidando com funções de transferência que são usadas em sistemas de controle para descrever a relação entre a entrada e a saída do sistema no domínio da frequência. Para resolver, vamos precisar identificar os pólos e zeros dessa função, desenhá-los no plano
, e depois escrever a forma geral da resposta a um degrau unitário. Também vamos classificar a natureza da resposta como superamortecida, subamortecida, etc.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os zeros e os pólos da função de transferência.
- Zeros são os valores de
que fazem o numerador igual a zero. - Pólos são os valores de
que fazem o denominador igual a zero.
Na nossa função
, o numerador é 5, que nunca é zero. Isso significa que não há zeros.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pólos. Para isso, igualamos o denominador a zero:
Resolvendo:
Ent��o, os pólos são
e
.
Passo 4
Com os pólos identificados, vamos plotá-los no plano
, que tem o eixo real horizontal e o eixo imaginário vertical.
- Os pólos estão nos pontos
e . - Não há zeros, então não precisamos marcar nenhum ponto no eixo.
Passo 5
Agora, vamos escrever a forma geral da resposta ao degrau unitário sem resolver a Transformada de Laplace inversa.
A função de transferência
multiplicada pela Transformada do degrau unitário
nos dá:
A resposta no domínio do tempo será uma combinação das respostas exponenciais associadas aos pólos, já que não há zeros. Então, a forma geral será algo como:
onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais.
Passo 6
Por fim, vamos determinar a natureza da resposta. Como todos os pólos são reais e distintos (não temos pólos complexos ou múltiplos), a resposta do sistema será superamortecida. Isso significa que a saída do sistema retorna ao estado de equilíbrio sem oscilações, com uma taxa de decaimento rápida devido aos dois termos exponenciais diferentes.
Resposta
A função de transferência
possui pólos em
e
sem zeros. A forma geral da resposta ao degrau unitário é
, e a natureza da resposta é superamortecida.