Para cada uma das funções de transferência mostradas abaixo, determine a localização dos pólos e dos zeros no plano S e em seguida escreva uma expressão para a forma geral da resposta ao degrau unitário sem resolver utilizando a Transformada de Laplace inversa. Enuncie a natureza de cada uma das respostas (superamortecida, subamortecida, etc.)
G(s)=5(s+3)(s+6)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente analisar a função de transferência:
G(s) = 5(s+3)(s+6)
Aqui, estamos lidando com funções de transferência que são usadas em sistemas de controle para descrever a relação entre a entrada e a saída do sistema no domínio da frequência. Para resolver, vamos precisar identificar os pólos e zeros dessa função, desenhá-los no plano , e depois escrever a forma geral da resposta a um degrau unitário. Também vamos classificar a natureza da resposta como superamortecida, subamortecida, etc.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os zeros e os pólos da função de transferência.
  • Zeros são os valores de que fazem o numerador igual a zero.
  • Pólos são os valores de que fazem o denominador igual a zero.
Na nossa função , o numerador é 5, que nunca é zero. Isso significa que não há zeros.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pólos. Para isso, igualamos o denominador a zero:
(s + 3)(s + 6) = 0
Resolvendo:
s + 3 = 0 Rightarrow s = -3
s + 6 = 0 Rightarrow s = -6
Ent��o, os pólos são e .

Passo 4

Com os pólos identificados, vamos plotá-los no plano , que tem o eixo real horizontal e o eixo imaginário vertical.
  • Os pólos estão nos pontos e .
  • Não há zeros, então não precisamos marcar nenhum ponto no eixo.

Passo 5

Agora, vamos escrever a forma geral da resposta ao degrau unitário sem resolver a Transformada de Laplace inversa.
A função de transferência Y(s) = G(s) cdot 1s = 5s(s+3)(s+6) multiplicada pela Transformada do degrau unitário y(t) = A1 e^-3t + A2 e^-6t nos dá:
A resposta no domínio do tempo será uma combinação das respostas exponenciais associadas aos pólos, já que não há zeros. Então, a forma geral será algo como:
onde e são constantes que dependem das condições iniciais.

Passo 6

Por fim, vamos determinar a natureza da resposta. Como todos os pólos são reais e distintos (não temos pólos complexos ou múltiplos), a resposta do sistema será superamortecida. Isso significa que a saída do sistema retorna ao estado de equilíbrio sem oscilações, com uma taxa de decaimento rápida devido aos dois termos exponenciais diferentes.

Resposta

A função de transferência possui pólos em e sem zeros. A forma geral da resposta ao degrau unitário é , e a natureza da resposta é superamortecida.

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