Esboce os diagramas de Bode de magnitude e de fase, empregando aproximações assintóticas, para a seguinte função de transferência: (4)
G(s)=10(s+3)s(s+2)(s^2+s+2)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos esboçar os diagramas de Bode de magnitude e de fase para a função de transferência dada:
G(s) = 10(s + 3)s(s + 2)(s^2 + s + 2)
Isso pertence ao conteúdo de Sistemas de Controle, especificamente à análise de respostas em frequência usando o Diagrama de Bode. Para resolver, vamos precisar aplicar aproximações assintóticas para cada fator da função de transferência e combinar os resultados para obter os gráficos finais.

Passo 2

Primeiro, vamos quebrar a função de transferência em seus componentes para facilitar a análise:
G(s) = 10(s + 3)s(s + 2)(s^2 + s + 2) = 10 cdot s + 3s cdot 1s + 2 cdot 1s^2 + s + 2
Cada um desses termos vai contribuir de forma diferente para os diagramas de magnitude e de fase.

Passo 3

Vamos analisar cada fator separadamente para o Diagrama de Bode de Magnitude:
  1. Fator constante 10:
    • Magnitude: omegan = raiz1^2 - 2^2 = raiz1 - 4 = raiz-3 dB (constante em todas as frequências).
  2. Fator :
    • No Diagrama de Bode, isso representa um zero em rad/s e um polo em zero rad/s.
  3. Fator :
    • Um polo em rad/s.
  4. Fator :
    • Este é um polo complexo conjugado. Para encontrar a frequência natural e o fator de amortecimento, usamos: Como a parte real é negativa, o polo não contribui com uma frequência de pico clara, mas afetará a inclinação em torno de sua frequência natural.

Passo 4

Agora, determinar as inclinações para cada fator no Diagrama de Magnitude:
  1. Fator 10:
    • Não afeta a inclinação.
  2. Fator :
    • Antes de , a inclinação é de -20 dB/decada devido ao polo em zero.
    • Depois de , a inclinação aumenta para 0 dB/dec.
  3. Fator :
    • A partir de , a inclinação diminui em -20 dB/dec.
  4. Fator :
    • A partir da frequência natural, a inclinação diminui em -40 dB/dec.

Passo 5

Combinar todas as contribuições para determinar a inclinação total:
  • Inicialmente, a inclinação é de -20 dB/dec devido ao polo em zero.
  • A partir de , adicionamos mais -20 dB/dec, totalizando -40 dB/dec.
  • A partir de , o aumento do zero compensa +20 dB/dec, resultando em -20 dB/dec.
  • Finalmente, a contribuição do polo complexo adiciona -40 dB/dec a partir da sua frequência natural.

Passo 6

Para o Diagrama de Bode de Fase:
  1. Fator 10:
    • Fase: 0°.
  2. Fator :
    • Zero em : adiciona +90° gradualmente ao redor de rad/s.
    • Polo em : adiciona -90° constantemente.
  3. Fator :
    • Polo em : adiciona -45° gradualmente ao redor de rad/s.
  4. Fator :
    • Polo complexo: adiciona -90° na frequência natural, distribuídos ao redor dela.

Passo 7

Combinar todas as contribuições de fase:
  • Começamos com -90° devido ao polo em zero.
  • Adicionamos +90° devido ao zero em , totalizando 0°.
  • Subtraímos 45° devido ao polo em , totalizando -45°.
  • Subtraímos mais 90° devido ao polo complexo, totalizando -135°.

Resposta

Esboçamos os diagramas de Bode de magnitude e de fase para a função de transferência utilizando aproximações assintóticas. O Diagrama de Magnitude apresenta uma inclinação inicial de -20 dB/dec, que muda para -40 dB/dec a partir de rad/s, e retorna para -20 dB/dec após rad/s, com uma inclinação final de -60 dB/dec devido ao polo complexo. O Diagrama de Fase começa em -90°, sobe para 0° com a introdução do zero em rad/s, diminui para -45° com o polo em rad/s, e chega a -135° após considerar o polo complexo.

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