Esboce os diagramas de Bode de magnitude e de fase, empregando aproximações assintóticas, para a seguinte função de transferência: (4)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos esboçar os diagramas de Bode de magnitude e de fase para a função de transferência dada:
Isso pertence ao conteúdo de Sistemas de Controle, especificamente à análise de respostas em frequência usando o Diagrama de Bode. Para resolver, vamos precisar aplicar aproximações assintóticas para cada fator da função de transferência e combinar os resultados para obter os gráficos finais.
Passo 2
Primeiro, vamos quebrar a função de transferência em seus componentes para facilitar a análise:
Cada um desses termos vai contribuir de forma diferente para os diagramas de magnitude e de fase.
Passo 3
Vamos analisar cada fator separadamente para o Diagrama de Bode de Magnitude:
-
Fator constante 10:
- Magnitude:
dB (constante em todas as frequências).
- Magnitude:
-
Fator
: -
- No Diagrama de Bode, isso representa um zero em
rad/s e um polo em zero rad/s.
-
-
Fator
: - Um polo em
rad/s.
- Um polo em
-
Fator
: - Este é um polo complexo conjugado. Para encontrar a frequência natural e o fator de amortecimento, usamos:
Como a parte real é negativa, o polo não contribui com uma frequência de pico clara, mas afetará a inclinação em torno de sua frequência natural.
- Este é um polo complexo conjugado. Para encontrar a frequência natural e o fator de amortecimento, usamos:
Passo 4
Agora, determinar as inclinações para cada fator no Diagrama de Magnitude:
-
Fator 10:
- Não afeta a inclinação.
-
Fator
: - Antes de
, a inclinação é de -20 dB/decada devido ao polo em zero. - Depois de
, a inclinação aumenta para 0 dB/dec.
- Antes de
-
Fator
: - A partir de
, a inclinação diminui em -20 dB/dec.
- A partir de
-
Fator
: - A partir da frequência natural, a inclinação diminui em -40 dB/dec.
Passo 5
Combinar todas as contribuições para determinar a inclinação total:
- Inicialmente, a inclinação é de -20 dB/dec devido ao polo em zero.
- A partir de
, adicionamos mais -20 dB/dec, totalizando -40 dB/dec. - A partir de
, o aumento do zero compensa +20 dB/dec, resultando em -20 dB/dec. - Finalmente, a contribuição do polo complexo adiciona -40 dB/dec a partir da sua frequência natural.
Passo 6
Para o Diagrama de Bode de Fase:
-
Fator 10:
- Fase: 0°.
-
Fator
: - Zero em
: adiciona +90° gradualmente ao redor de rad/s. - Polo em
: adiciona -90° constantemente.
- Zero em
-
Fator
: - Polo em
: adiciona -45° gradualmente ao redor de rad/s.
- Polo em
-
Fator
: - Polo complexo: adiciona -90° na frequência natural, distribuídos ao redor dela.
Passo 7
Combinar todas as contribuições de fase:
- Começamos com -90° devido ao polo em zero.
- Adicionamos +90° devido ao zero em
, totalizando 0°. - Subtraímos 45° devido ao polo em
, totalizando -45°. - Subtraímos mais 90° devido ao polo complexo, totalizando -135°.
Resposta
Esboçamos os diagramas de Bode de magnitude e de fase para a função de transferência
utilizando aproximações assintóticas. O Diagrama de Magnitude apresenta uma inclinação inicial de -20 dB/dec, que muda para -40 dB/dec a partir de
rad/s, e retorna para -20 dB/dec após
rad/s, com uma inclinação final de -60 dB/dec devido ao polo complexo. O Diagrama de Fase começa em -90°, sobe para 0° com a introdução do zero em
rad/s, diminui para -45° com o polo em
rad/s, e chega a -135° após considerar o polo complexo.