Para cada uma das funções z=f(x, y) definidas abaixo, calcule partial zpartial x, partial zpartial y, partial^2 zpartial x^2, partial^2 zpartial y^2 e partial^2 zpartial x partial y
d) z=cos (raiz1+x^2 y^4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo multivariável onde precisamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função . Vamos utilizar conceitos de derivadas parciais e regra da cadeia para chegar nas respostas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de partial zpartial x = ddu cos(u) cdot partial upartial x = -sin(u) cdot partial upartial x em relação a u = (1 + x^2 y^4)^1/2 partial upartial x = 12 (1 + x^2 y^4)^-1/2 cdot 2x y^4 = x y^4raiz1 + x^2 y^4 , ou seja, partial zpartial x = -sin(raiz1 + x^2 y^4) cdot x y^4raiz1 + x^2 y^4 . Para isso, usamos a regra da cadeia, já que é uma função composta.
A função interna é , e então .
Aplicando a regra da cadeia:
Agora, calculamos :
Substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de partial zpartial y = ddu cos(u) cdot partial upartial y = -sin(u) cdot partial upartial y em relação a u = (1 + x^2 y^4)^1/2 partial upartial y = 12 (1 + x^2 y^4)^-1/2 cdot 4x^2 y^3 = 2x^2 y^3raiz1 + x^2 y^4 , ou seja, partial zpartial y = -sin(raiz1 + x^2 y^4) cdot 2x^2 y^3raiz1 + x^2 y^4 . Novamente, usamos a regra da cadeia.
Usando , temos:
Calculando :
Substituindo de volta:

Passo 4

Vamos agora calcular a segunda derivada parcial de partial zpartial x = -sin(raiz1 + x^2 y^4) cdot x y^4raiz1 + x^2 y^4 em relação a ddx [-sin(u)] = -cos(u) cdot partial upartial x , ou seja, partial upartial x = x y^4raiz1 + x^2 y^4 . Para isso, derivamos ddx ( x y^4raiz1 + x^2 y^4 ) = y^4 raiz1 + x^2 y^4 - x y^4 cdot x y^4raiz1 + x^2 y^41 + x^2 y^4 em relação a = y^4 (1 + x^2 y^4) - x^2 y^8(1 + x^2 y^4)^3/2 = y^4(1 + x^2 y^4)^3/2 .
Lembrando que:
partial^2 zpartial x^2 = -cos(raiz1 + x^2 y^4) ( x y^4raiz1 + x^2 y^4 )^2 - sin(raiz1 + x^2 y^4) cdot y^4raiz1 + x^2 y^4
Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Primeiro, vamos derivar onde :
Já calculamos anteriormente:
Agora, derivamos em relação a :
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Então, juntando tudo:

Passo 5

Vamos calcular a segunda derivada parcial de partial zpartial y = -sin(raiz1 + x^2 y^4) cdot 2x^2 y^3raiz1 + x^2 y^4 em relação a ddy [-sin(u)] = -cos(u) cdot partial upartial y , ou seja, partial upartial y = 2x^2 y^3raiz1 + x^2 y^4 . Derivamos ddy ( 2x^2 y^3raiz1 + x^2 y^4 ) = 6x^2 y^2 raiz1 + x^2 y^4 - 2x^2 y^3 cdot 2x^2 y^3raiz1 + x^2 y^41 + x^2 y^4 em relação a = 6x^2 y^2 (1 + x^2 y^4) - 4x^4 y^6(1 + x^2 y^4)^3/2 = 6x^2 y^2 + 6x^4 y^6 - 4x^4 y^6(1 + x^2 y^4)^3/2 = 6x^2 y^2 + 2x^4 y^6(1 + x^2 y^4)^3/2 .
Lembrando que:
partial^2 zpartial y^2 = -cos(raiz1 + x^2 y^4) ( 2x^2 y^3raiz1 + x^2 y^4 )^2 - sin(raiz1 + x^2 y^4) cdot 6x^2 y^2 + 2x^4 y^6(1 + x^2 y^4)^3/2
Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Primeiro, derivamos onde :
Já calculamos :
Agora, derivamos em relação a :
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Então, juntando tudo:

Passo 6

Por fim, vamos calcular a derivada mista partial zpartial x = -sin(raiz1 + x^2 y^4) cdot x y^4raiz1 + x^2 y^4 . Isso significa que vamos derivar partialpartial y [-sin(u)] = -cos(u) cdot partial upartial y em relação a partialpartial y ( x y^4raiz1 + x^2 y^4 ) = 4x y^3 raiz1 + x^2 y^4 - x y^4 cdot 2x^2 y^3raiz1 + x^2 y^41 + x^2 y^4 .
Lembrando que:
= 4x y^3 (1 + x^2 y^4) - 2x^3 y^7(1 + x^2 y^4)^3/2 = 4x y^3 + 4x^3 y^7 - 2x^3 y^7(1 + x^2 y^4)^3/2 = 4x y^3 + 2x^3 y^7(1 + x^2 y^4)^3/2
Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Primeiro, derivamos partial^2 zpartial x partial y = -cos(raiz1 + x^2 y^4) cdot 2x^2 y^3raiz1 + x^2 y^4 - sin(raiz1 + x^2 y^4) cdot 4x y^3 + 2x^3 y^7(1 + x^2 y^4)^3/2 onde :
Já sabemos .
Agora, derivamos em relação a :
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Então, juntando tudo:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função partial zpartial x = -sin(raiz1 + x^2 y^4) cdot x y^4raiz1 + x^2 y^4 são:
partial zpartial y = -sin(raiz1 + x^2 y^4) cdot 2x^2 y^3raiz1 + x^2 y^4
partial^2 zpartial x^2 = -cos(raiz1 + x^2 y^4) ( x y^4raiz1 + x^2 y^4 )^2 - sin(raiz1 + x^2 y^4) cdot y^4raiz1 + x^2 y^4
partial^2 zpartial y^2 = -cos(raiz1 + x^2 y^4) ( 2x^2 y^3raiz1 + x^2 y^4 )^2 - sin(raiz1 + x^2 y^4) cdot 6x^2 y^2 + 2x^4 y^6(1 + x^2 y^4)^3/2
partial^2 zpartial x partial y = -cos(raiz1 + x^2 y^4) cdot 2x^2 y^3raiz1 + x^2 y^4 - sin(raiz1 + x^2 y^4) cdot 4x y^3 + 2x^3 y^7(1 + x^2 y^4)^3/2

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