Para cada uma das funções
definidas abaixo, calcule
,
e
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo multivariável onde precisamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Vamos utilizar conceitos de derivadas parciais e regra da cadeia para chegar nas respostas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, usamos a regra da cadeia, já que
é uma função composta.
A função interna é
, e então
.
Aplicando a regra da cadeia:
Agora, calculamos
:
Substituindo de volta:
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, usamos a regra da cadeia.
Usando
, temos:
Calculando
:
Substituindo de volta:
Passo 4
Vamos agora calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, derivamos
em relação a
.
Lembrando que:
Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Primeiro, vamos derivar
onde
:
Já calculamos
anteriormente:
Agora, derivamos
em relação a
:
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Então, juntando tudo:
Passo 5
Vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Derivamos
em relação a
.
Lembrando que:
Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Primeiro, derivamos
onde
:
Já calculamos
:
Agora, derivamos
em relação a
:
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Então, juntando tudo:
Passo 6
Por fim, vamos calcular a derivada mista
. Isso significa que vamos derivar
em relação a
.
Lembrando que:
Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Primeiro, derivamos
onde
:
Já sabemos
.
Agora, derivamos
em relação a
:
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Então, juntando tudo:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são:
Exercícios relacionados
Nos exercícios 33 a 35, calcular a área da região limitada pelas seguintes curvas, dadas na forma paramétrica.
35. e
35.
Nos exercícios 20. a 32., conclua que o limite não existe ou, se existir, determine seu valor.
25.
25.
- Calcular a área entre o arco da hipociclóide
e a reta .
Verifique que
, definida
, possui derivadas parciais de primeira ordem na origem.