Verifique que f(x, y) = raiz(|x y|), definida forall(x, y) em R^2, possui derivadas parciais de primeira ordem na origem.

Passo 1

Então, a gente tem a função definida para todos os pares no plano real . A missão aqui é verificar se essa função tem derivadas parciais de primeira ordem na origem, ou seja, no ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como calculá-las nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de uma função em relação a uma de suas variáveis mede a taxa de variação da função quando apenas essa variável muda, mantendo a outra constante. No nosso caso, queremos encontrar as derivadas parciais de em relação a e na origem.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a na origem. A fórmula para a derivada parcial de em relação a no ponto é:
Como e , substituindo na fórmula:
Então, a derivada parcial em relação a na origem é 0.

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para a derivada parcial de em relação a na origem. A fórmula é:
Novamente, e , então a expressão fica:
Portanto, a derivada parcial em relação a na origem também é 0.

Resposta

A função possui derivadas parciais de primeira ordem na origem, ambas iguais a zero.

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