Verifique que
, definida
, possui derivadas parciais de primeira ordem na origem.
Passo 1
Então, a gente tem a função
definida para todos os pares
no plano real
. A missão aqui é verificar se essa função tem derivadas parciais de primeira ordem na origem, ou seja, no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como calculá-las nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de uma função em relação a uma de suas variáveis mede a taxa de variação da função quando apenas essa variável muda, mantendo a outra constante. No nosso caso, queremos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
na origem.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
na origem. A fórmula para a derivada parcial de
em relação a
no ponto
é:
Como
e
, substituindo na fórmula:
Então, a derivada parcial em relação a
na origem é 0.
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para a derivada parcial de
em relação a
na origem. A fórmula é:
Novamente,
e
, então a expressão fica:
Portanto, a derivada parcial em relação a
na origem também é 0.
Resposta
A função
possui derivadas parciais de primeira ordem na origem, ambas iguais a zero.
Exercícios relacionados
- Calcular a área entre o arco da hipociclóide
e a reta .
Para cada uma das funções
definidas abaixo, calcule
,
e
d)
d)
Dada a função
:
(a) Calcule a taxa média de variação da função no intervalo , com
.
(a) Calcule a taxa média de variação da função no intervalo
Nos exercícios 1 a 14, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
9.
9.