Nos exercícios 33 a 35, calcular a área da região limitada pelas seguintes curvas, dadas na forma paramétrica.
35. {x = t, y = t^2} e x = 1 + t, y = 1 + 3t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região limitada por duas curvas dadas em forma paramétrica. As curvas são:
Vamos usar conceitos de cálculo integral para encontrar essa área. Primeiro, precisamos descobrir onde essas curvas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção delas.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as equações de e de das duas curvas:
Aqui, e são os parâmetros das duas curvas. Mas como queremos que as coordenadas sejam as mesmas, podemos assumir que os parâmetros são iguais, ou seja, . Então, substituímos:
Isso não faz sentido, então devemos considerar que cada curva tem seu próprio parâmetro. Vamos resolver o sistema de equações:
Onde é o parâmetro da segunda curva. Da primeira equação, temos . Substituindo na segunda equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, ou .

Passo 3

Agora que temos os valores de onde as curvas se encontram, vamos encontrar os pontos de interseção:
Para :
Então, o ponto é .
Para :
Então, o ponto é .

Passo 4

Com os pontos de interseção encontrados, vamos traçar ou imaginar como as curvas se comportam entre e .
A primeira curva é uma parábola , que é uma parábola padrão que se abre para cima. A segunda curva é uma linha reta (reescrita na forma explícita).
Vamos determinar qual curva está acima da outra nesse intervalo para saber como configurar nossa integral.

Passo 5

Vamos comparar os valores de das duas curvas entre e :
Para :
á
Para :
á
Parece que a reta está acima da parábola nesse intervalo.

Passo 6

Agora, para encontrar a área entre as curvas, usamos a seguinte fórmula:
Á
Neste caso, é a reta e é a parábola.
Como as curvas estão parametrizadas por , vamos expressar em termos de . Da primeira curva, temos , então:

Passo 7

Substituindo na fórmula da área:
Áá
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral:
Á
Integrando termo a termo:
Então,
Á

Passo 9

Agora, vamos avaliar a antiderivada nos limites de 1 a 2:
Para :
Para :

Passo 10

Subtraindo os valores:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é unidades quadradas.

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