Nos exercícios 33 a 35, calcular a área da região limitada pelas seguintes curvas, dadas na forma paramétrica.
35.
e
35.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região limitada por duas curvas dadas em forma paramétrica. As curvas são:
Vamos usar conceitos de cálculo integral para encontrar essa área. Primeiro, precisamos descobrir onde essas curvas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção delas.
Passo 2
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as equações de
e de
das duas curvas:
Aqui,
e
são os parâmetros das duas curvas. Mas como queremos que as coordenadas sejam as mesmas, podemos assumir que os parâmetros são iguais, ou seja,
. Então, substituímos:
Isso não faz sentido, então devemos considerar que cada curva tem seu próprio parâmetro. Vamos resolver o sistema de equações:
Onde
é o parâmetro da segunda curva. Da primeira equação, temos
. Substituindo na segunda equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
ou
.
Passo 3
Agora que temos os valores de
onde as curvas se encontram, vamos encontrar os pontos de interseção:
Para
:
Então, o ponto é
.
Para
:
Então, o ponto é
.
Passo 4
Com os pontos de interseção encontrados, vamos traçar ou imaginar como as curvas se comportam entre
e
.
A primeira curva é uma parábola
, que é uma parábola padrão que se abre para cima. A segunda curva é uma linha reta
(reescrita na forma explícita).
Vamos determinar qual curva está acima da outra nesse intervalo para saber como configurar nossa integral.
Passo 5
Vamos comparar os valores de
das duas curvas entre
e
:
Para
:
Para
:
Parece que a reta está acima da parábola nesse intervalo.
Passo 6
Agora, para encontrar a área entre as curvas, usamos a seguinte fórmula:
Neste caso,
é a reta e
é a parábola.
Como as curvas estão parametrizadas por
, vamos expressar
em termos de
. Da primeira curva, temos
, então:
Passo 7
Substituindo na fórmula da área:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 8
Agora, vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Então,
Passo 9
Agora, vamos avaliar a antiderivada nos limites de 1 a 2:
Para
:
Para
:
Passo 10
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
unidades quadradas.
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25.
25.
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23.
23.
Para cada uma das funções
definidas abaixo, calcule
,
e
d)
d)
- Calcular a área entre o arco da hipociclóide
e a reta .