- Calcular a área entre o arco da hipociclóide
e a reta
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área entre o arco de uma hipociclóide definida pelas equações paramétricas
e para
entre 0 e
, e a reta
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente para encontrar áreas entre curvas. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas envolvidas. A hipociclóide é uma curva traçada por um ponto em um círculo que rola sem deslizar dentro de outro círculo fixo. As equações paramétricas dadas são:
Essas equações nos descrevem a posição de um ponto na hipociclóide para cada valor de
no intervalo de 0 a
.
Passo 3
A reta dada é
. Podemos reescrever essa equação para facilitar os cálculos:
Isso nos mostra que para cada valor de
,
é igual a
.
Passo 4
Para encontrar a área entre a hipociclóide e a reta, vamos calcular a diferença entre as duas curvas ao longo do intervalo dado e integrar essa diferença. Em termos matemáticos, a ��rea
pode ser expressa como:
onde
e
.
Passo 5
Precisamos expressar tudo em termos de
para poder integrar. Já temos e
(substituindo
na equação da reta).
Então, a diferença entre as funções é:
Passo 6
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Diferenciando
em relação a
, temos:
Portanto,
Passo 7
Substituindo tudo na integral da área:
Simplificando os constantes:
Passo 8
Vamos distribuir a multiplicação dentro da integral:
Essa integral pode ser um pouco complexa, mas podemos resolver termo a termo ou buscar uma substituição que simplifique o processo.
Passo 9
Observando a integral, percebemos que podemos usar substituições para resolver termos como e . Por exemplo, para o primeiro termo:
E para o segundo termo:
Aplicando essas substituições e resolvendo as integrais, chegaremos aos valores.
Passo 10
Após realizar as integrações e calcular os limites, somamos os resultados obtidos para cada termo. Finalizamos multiplicando pelo fator constante fora da integral.
Resposta
A área entre o arco da hipociclóide e a reta
é igual a
unidades de área.
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções
definidas abaixo, calcule
,
e
d)
d)
Nos exercícios 33 a 35, calcular a área da região limitada pelas seguintes curvas, dadas na forma paramétrica.
35. e
35.
Verifique que
, definida
, possui derivadas parciais de primeira ordem na origem.
Dada a função
:
(a) Calcule a taxa média de variação da função no intervalo , com
.
(a) Calcule a taxa média de variação da função no intervalo