1. Calcular a área entre o arco da hipociclóide x = 3 cos^3(t), y = 3 sen^3(t), t em [0, pi/2] e a reta x + y = 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área entre o arco de uma hipociclóide definida pelas equações paramétricas e para entre 0 e , e a reta . Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente para encontrar áreas entre curvas. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas envolvidas. A hipociclóide é uma curva traçada por um ponto em um círculo que rola sem deslizar dentro de outro círculo fixo. As equações paramétricas dadas são:
Essas equações nos descrevem a posição de um ponto na hipociclóide para cada valor de no intervalo de 0 a .

Passo 3

A reta dada é . Podemos reescrever essa equação para facilitar os cálculos:
Isso nos mostra que para cada valor de , é igual a .

Passo 4

Para encontrar a área entre a hipociclóide e a reta, vamos calcular a diferença entre as duas curvas ao longo do intervalo dado e integrar essa diferença. Em termos matemáticos, a ��rea pode ser expressa como:
ó
onde e .

Passo 5

Precisamos expressar tudo em termos de para poder integrar. Já temos e (substituindo na equação da reta).
Então, a diferença entre as funções é:

Passo 6

Agora, precisamos expressar em termos de . Diferenciando em relação a , temos:
Portanto,

Passo 7

Substituindo tudo na integral da área:
Simplificando os constantes:

Passo 8

Vamos distribuir a multiplicação dentro da integral:
Essa integral pode ser um pouco complexa, mas podemos resolver termo a termo ou buscar uma substituição que simplifique o processo.

Passo 9

Observando a integral, percebemos que podemos usar substituições para resolver termos como e . Por exemplo, para o primeiro termo:
E para o segundo termo:
Aplicando essas substituições e resolvendo as integrais, chegaremos aos valores.

Passo 10

Após realizar as integrações e calcular os limites, somamos os resultados obtidos para cada termo. Finalizamos multiplicando pelo fator constante fora da integral.

Resposta

A área entre o arco da hipociclóide e a reta é igual a unidades de área.

Exercícios relacionados

Para cada uma das funções z=f(x, y) definidas abaixo, calcule partial zpartial x, partial zpartial y, partial^2 zpartial x^2, partial^2 zpartial y^2 e partial^2 zpartial x partial y
d) z=cos (raiz1+x^2 y^4)
Nos exercícios 33 a 35, calcular a área da região limitada pelas seguintes curvas, dadas na forma paramétrica.
35. {x = t, y = t^2} e x = 1 + t, y = 1 + 3t
Verifique que f(x, y) = raiz(|x y|), definida forall(x, y) em R^2, possui derivadas parciais de primeira ordem na origem.
Dada a função f(x) = x^3 + 1 :
(a) Calcule a taxa média de variação da função no intervalo [-1, P], com P = 0.