Cada integral iterada representa o volume de um sólido. Faça um esboço do sólido. (Não é preciso calcular o volume.)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral iterada dada por
. O enunciado nos diz que cada integral iterada representa o volume de um sólido. Então, nosso objetivo aqui é fazer um esboço desse sólido. Para isso, precisamos saber sobre integrais duplas e como elas relacionam-se com volumes no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites de integração. As integrais vão de
a
tanto para
quanto para
. Isso significa que estamos trabalhando com uma região quadrada no plano
, onde
varia de
a
e, para cada valor de
,
também varia de
a
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função que estamos integrando:
. Essa função representa a altura do sólido em cada ponto
da base. No espaço tridimensional, isso significa que para cada ponto
, a altura
do sólido será
.
Passo 4
Vamos pensar em como essa função se comporta. A função
é uma paraboloide circular, que se abre para cima. Isso porque, à medida que
ou
se afastam do zero,
aumenta quadraticamente. No centro, onde
e
,
.
Passo 5
Então, o sólido que estamos esboçando é a parte da paraboloide
que está acima da região quadrada definida por
e
. Ou seja, é uma espécie de “tampa” parabólica limitada pelos valores de
e
especificados.
Resposta
O sólido é a região da paraboloide
que está acima do quadrado no plano
com vértices em
,
,
e
.