Cada integral iterada representa o volume de um sólido. Faça um esboço do sólido. (Não é preciso calcular o volume.) integral-2^2 integral-2^2(x^2+y^2) d x d y

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral iterada dada por . O enunciado nos diz que cada integral iterada representa o volume de um sólido. Então, nosso objetivo aqui é fazer um esboço desse sólido. Para isso, precisamos saber sobre integrais duplas e como elas relacionam-se com volumes no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração. As integrais vão de a tanto para quanto para . Isso significa que estamos trabalhando com uma região quadrada no plano , onde varia de a e, para cada valor de , também varia de a .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função que estamos integrando: . Essa função representa a altura do sólido em cada ponto da base. No espaço tridimensional, isso significa que para cada ponto , a altura do sólido será .

Passo 4

Vamos pensar em como essa função se comporta. A função é uma paraboloide circular, que se abre para cima. Isso porque, à medida que ou se afastam do zero, aumenta quadraticamente. No centro, onde e , .

Passo 5

Então, o sólido que estamos esboçando é a parte da paraboloide que está acima da região quadrada definida por e . Ou seja, é uma espécie de “tampa” parabólica limitada pelos valores de e especificados.

Resposta

O sólido é a região da paraboloide que está acima do quadrado no plano com vértices em , , e .

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