A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante.
©
em torno do eixo
.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o volume de um sólido que resulta da rotação da região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se cruzam, ou seja, vamos encontrar os valores de
onde
. Isso nos dá os limites de integração.
Passo 3
Resolvendo a equação
:
Então,
ou
. Esses são os pontos de interseção das curvas.
Passo 4
Agora, para configurar a integral, precisamos expressar
em função de
, já que vamos girar em torno do eixo
. Vamos resolver cada equação para
:
Para
:
Para
:
No entanto, para simplificar, observamos que entre
e
,
está acima de
.
Passo 5
Usaremos o método dos anéis, onde o volume
é dado por:
onde
é o raio externo e
é o raio interno.
Passo 6
No nosso caso, como estamos girando em torno do eixo
:
-
corresponde a da curva -
corresponde a da curva
Precisamos expressar
em função de
para ambas as curvas.
Passo 7
Para
:
Para
, rearranjando:
Entre
e
, escolhemos a solução positiva:
Passo 8
Os limites de integração são os valores de
correspondentes a
e
:
Para
:
Para
:
Então,
e
.
Passo 9
Agora, montamos a integral:
Passo 10
Vamos simplificar a integral:
Primeiro, expandimos
:
Então, a integral fica:
Simplificando ainda mais:
Passo 11
Integrando termo a termo:
Calculando cada integral:
-
-
-
Para
, fazemos a substituição , então , ou :
Então, multiplicando por 3/4:
Passo 12
Agora, avaliamos as integrais de
a
:
Passo 13
Somando tudo:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.