A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante.
© y = x^2, y = 6x - 2x^2 em torno do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o volume de um sólido que resulta da rotação da região delimitada pelas curvas e em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se cruzam, ou seja, vamos encontrar os valores de onde . Isso nos dá os limites de integração.

Passo 3

Resolvendo a equação :
Então, ou . Esses são os pontos de interseção das curvas.

Passo 4

Agora, para configurar a integral, precisamos expressar em função de , já que vamos girar em torno do eixo . Vamos resolver cada equação para :
Para :
Para :
No entanto, para simplificar, observamos que entre e , está acima de .

Passo 5

Usaremos o método dos anéis, onde o volume é dado por:
onde é o raio externo e é o raio interno.

Passo 6

No nosso caso, como estamos girando em torno do eixo :
  • corresponde a da curva
  • corresponde a da curva
Precisamos expressar em função de para ambas as curvas.

Passo 7

Para :
Para , rearranjando:
Entre e , escolhemos a solução positiva:

Passo 8

Os limites de integração são os valores de correspondentes a e :
Para :
Para :
Então, e .

Passo 9

Agora, montamos a integral:

Passo 10

Vamos simplificar a integral:
Primeiro, expandimos :
Então, a integral fica:
Simplificando ainda mais:

Passo 11

Integrando termo a termo:
Calculando cada integral:
  1. Para , fazemos a substituição , então , ou :
Então, multiplicando por 3/4:

Passo 12

Agora, avaliamos as integrais de a :

Passo 13

Somando tudo:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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