Responda as seguintes questões: (d) y1(x) = x e y2(x) = x^2 são soluções fundamentais da EDO x^2 y'' - 2 x y' + 2 y = 0 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me perguntou se as funções e são soluções fundamentais da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre soluções de EDOs e o que significa ser uma solução fundamental. Vamos dar uma olhada nos passos para descobrir isso juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é uma solução da EDO. Isso significa que precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de e substituir na equação para ver se ela é satisfeita.
A derivada de é:
E a segunda derivada é:
Agora, substituímos na EDO:
Como a equação é satisfeita, é realmente uma solução da EDO.

Passo 3

Vamos fazer o mesmo para . Calculamos as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na EDO:
Novamente, a equação é satisfeita, ent��o também é uma solução da EDO.

Passo 4

Agora que sabemos que ambas as funções são soluções da EDO, precisamos verificar se elas são soluções fundamentais. Isso significa que as soluções são linearmente independentes e que qualquer solução geral da EDO pode ser escrita como uma combinação dessas funções.
Para verificar a independência linear, calculamos o Wronskiano das duas soluções. O Wronskiano é dado por:
Calculando:
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum intervalo, as soluções são linearmente independentes nesse intervalo.

Passo 5

No entanto, observamos que o Wronskiano só é diferente de zero quando . Em , o Wronskiano é zero, indicando que as soluções não são independentes nesse ponto específico. Mas, para a maioria dos valores de , as soluções são independentes.

Resposta

Sim, as funções e são soluções fundamentais da EDO , pois são soluções da equação e são linearmente independentes para .

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