Responda as seguintes questões: (d) e são soluções fundamentais da EDO ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me perguntou se as funções e são soluções fundamentais da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre soluções de EDOs e o que significa ser uma solução fundamental. Vamos dar uma olhada nos passos para descobrir isso juntos!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é uma solução da EDO. Isso significa que precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de e substituir na equação para ver se ela é satisfeita.
A derivada de é:
E a segunda derivada é:
Agora, substituímos na EDO:
Como a equação é satisfeita, é realmente uma solução da EDO.
Passo 3
Vamos fazer o mesmo para . Calculamos as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na EDO:
Novamente, a equação é satisfeita, ent��o também é uma solução da EDO.
Passo 4
Agora que sabemos que ambas as funções são soluções da EDO, precisamos verificar se elas são soluções fundamentais. Isso significa que as soluções são linearmente independentes e que qualquer solução geral da EDO pode ser escrita como uma combinação dessas funções.
Para verificar a independência linear, calculamos o Wronskiano das duas soluções. O Wronskiano é dado por:
Calculando:
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum intervalo, as soluções são linearmente independentes nesse intervalo.
Passo 5
No entanto, observamos que o Wronskiano só é diferente de zero quando . Em , o Wronskiano é zero, indicando que as soluções não são independentes nesse ponto específico. Mas, para a maioria dos valores de , as soluções são independentes.
Resposta
Sim, as funções e são soluções fundamentais da EDO , pois são soluções da equação e são linearmente independentes para .