Primeiro, calcule as derivadas parciais e, em seguida, determine o conjunto de pontos de continuidade.
© f(x, y) = (x - 3y) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais da função e depois descobrir em quais pontos essa função é contínua. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e continuidade de funções de várias variáveis. Vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e verificar os limites da função para analisar a continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de . As derivadas parciais são como as derivadas comuns, mas consideram uma variável enquanto a outra fica constante. Vamos calcular e .
Para , a função é .
Vamos achar :
Usamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então,
Agora, vamos calcular :
Também pela regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então,

Passo 3

Agora, vamos determinar o conjunto de pontos de continuidade da função . A continuidade de uma função em um ponto exige que o limite da função quando se aproxima desse ponto seja igual ao valor da função nesse ponto.
Para , a função está bem definida e é contínua, já que é uma fração de polinômios onde o denominador não é zero.
O ponto crítico é . Vamos verificar a continuidade nesse ponto.
Calculamos o limite de quando tende a :
Vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos:
  1. Caminho :
    O limite não existe.
  2. Caminho :
    O limite não existe.
Como o limite depende do caminho e não é igual em todos os casos, o limite geral não existe. Portanto, a função não é contínua em .

Resposta

As derivadas parciais de são:
O conjunto de pontos de continuidade de é todo menos o ponto . Ou seja, é contínua para todos os .

Exercícios relacionados

Primeiro, calcule as derivadas parciais e, em seguida, determine o conjunto de pontos de continuidade.
(a) f(x, y) = 3 x^7 y - 5 x y + 6.
Seja f(x, y)=x yx^2+y^2
b) Calcule lim t 0 f(de, onde de.
Calcule a integral de linha integralC x y d x+x^2 y^3 d y, onde C é o triângulo com vértices (0,0),(1,0) e (1,2). Assuma que C é orientada no sentido anti-horário.
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função f no ponto x_0 indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
© f(x) = raiz(x), x0 = 4