Primeiro, calcule as derivadas parciais e, em seguida, determine o conjunto de pontos de continuidade.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais da função
e depois descobrir em quais pontos essa função é contínua. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e continuidade de funções de várias variáveis. Vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e verificar os limites da função para analisar a continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
. As derivadas parciais são como as derivadas comuns, mas consideram uma variável enquanto a outra fica constante. Vamos calcular
e
.
Para
, a função é
.
Vamos achar
:
Usamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então,
Agora, vamos calcular
:
Também pela regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então,
Passo 3
Agora, vamos determinar o conjunto de pontos de continuidade da função
. A continuidade de uma função em um ponto exige que o limite da função quando
se aproxima desse ponto seja igual ao valor da função nesse ponto.
Para
, a função
está bem definida e é contínua, já que é uma fração de polinômios onde o denominador não é zero.
O ponto crítico é
. Vamos verificar a continuidade nesse ponto.
Calculamos o limite de
quando
tende a
:
Vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos:
-
Caminho
: O limite não existe. -
Caminho
: O limite não existe.
Como o limite depende do caminho e não é igual em todos os casos, o limite geral não existe. Portanto, a função não é contínua em
.
Resposta
As derivadas parciais de
são:
O conjunto de pontos de continuidade de
é todo
menos o ponto
. Ou seja,
é contínua para todos os
.
Exercícios relacionados
Primeiro, calcule as derivadas parciais e, em seguida, determine o conjunto de pontos de continuidade.
(a) .
(a)
Seja
b) Calcule , onde
.
b) Calcule
Calcule a integral de linha
, onde
é o triângulo com vértices
e
. Assuma que
é orientada no sentido anti-horário.
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
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