Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada de uma função em um ponto específico . Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, mais precisamente do conceito de derivada. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada pelo limite. Ou seja, vamos aplicar a fórmula do limite para encontrar a taxa de variação da função naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada de uma função no ponto . A derivada é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite da razão incremental conforme tende a zero.

Passo 3

Vamos usar um exemplo para ilustrar melhor. Suponha que a função seja e queremos calcular a derivada no ponto .
Primeiro, substituímos na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos calcular e :
Substituindo de volta na fórmula do limite:

Passo 5

Simplificando a expressão:
Agora, vamos calcular o limite conforme tende a zero:

Resposta

A derivada da função no ponto é .

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