Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada de uma função
em um ponto específico
. Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, mais precisamente do conceito de derivada. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada pelo limite. Ou seja, vamos aplicar a fórmula do limite para encontrar a taxa de variação da função naquele ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada de uma função
no ponto
. A derivada
é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite da razão incremental conforme
tende a zero.
Passo 3
Vamos usar um exemplo para ilustrar melhor. Suponha que a função seja
e queremos calcular a derivada no ponto
.
Primeiro, substituímos na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
:
Substituindo de volta na fórmula do limite:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Agora, vamos calcular o limite conforme
tende a zero:
Resposta
A derivada da função
no ponto
é
.
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