Em cada item abaixo, calcule a derivada da função f no ponto x_0 indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(l) f(x) = 10^(x - 2), x0 = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a derivada da função no ponto . Isso está ligado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente ao estudo de derivadas de funções exponenciais. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada e algumas propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em um ponto mede a taxa de variação da função nesse ponto, ou seja, quão rápido a função está mudando ali. Matemáticamente, a derivada de em é definida como:
Então, nosso objetivo é aplicar essa definição à função no ponto .

Passo 3

Vamos substituir e na definição da derivada:
Simplificando os expoentes:
E sabemos que , então:

Passo 4

Agora, precisamos calcular esse limite. Para funções exponenciais da forma , onde é uma constante, o limite é igual a . Isso é uma propriedade importante das derivadas de funções exponenciais.
No nosso caso, , então:

Passo 5

Portanto, a derivada da função no ponto é:

Resposta

A derivada da função no ponto é .

Exercícios relacionados

Em cada item abaixo, calcule a derivada da função f no ponto x_0 indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(j) f(x) = 2^x, x0 = 3
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função f no ponto x_0 indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(i) f(x) = sen x, x0 = pi
Determinar o valor dea >9 para que integrala^infty 4(x-9)^3 d x=18.
A derivada da função deslocamento é a função velocidaće. A derivada da função velocidade é a função aceleração. Encontre as funções velocidade e aceleração para f(x) = sen(N x) * e^(k x)