Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(l)
(l)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a derivada da função
no ponto
. Isso está ligado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente ao estudo de derivadas de funções exponenciais. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada e algumas propriedades das funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em um ponto mede a taxa de variação da função nesse ponto, ou seja, quão rápido a função está mudando ali. Matemáticamente, a derivada de
em
é definida como:
Então, nosso objetivo é aplicar essa definição à função
no ponto
.
Passo 3
Vamos substituir
e
na definição da derivada:
Simplificando os expoentes:
E sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, precisamos calcular esse limite. Para funções exponenciais da forma
, onde
é uma constante, o limite
é igual a
. Isso é uma propriedade importante das derivadas de funções exponenciais.
No nosso caso,
, então:
Passo 5
Portanto, a derivada da função
no ponto
é:
Resposta
A derivada da função
no ponto
é
.
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Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(j)
(j)
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(i)
(i)
Determinar o valor dea
para que
.
A derivada da função deslocamento é a função velocidaće. A derivada da função velocidade é a função aceleração. Encontre as funções velocidade e aceleração para