Determinar o valor dea
para que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de
maior que 9 para que a integral definida de
de
até o infinito seja igual a
. Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias porque um dos limites é o infinito. Vamos precisar calcular essa integral e resolver para
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como integrar uma função do tipo
. A integral de
é
, desde que
. No nosso caso, temos
e
.
Passo 3
Aplicando a regra de integração, a integral de
é:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essa integral de
até o infinito. Lembrando que quando uma das integrais vai até o infinito, calculamos o limite quando
tende ao infinito:
Como
tende ao infinito,
tende a zero. Então, temos:
Passo 5
Agora, igualamos essa expressão ao valor dado no problema:
Para resolver para
, multiplicamos ambos os lados por
:
Multiplicando ambos os lados por 8:
Passo 6
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Como
, descartamos a solução negativa:
Resposta
O valor de
é
.
Exercícios relacionados
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(l)
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(j)
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Dada a equação
onde
e
são constantes e as condições de fronteira
onde
e
são constantes, mostrar, por meio da substituição
que a equação se reduz a
e as condições de fronteira a
Mostrar portanto que quando
,
onde