A derivada da função deslocamento é a função velocidaće. A derivada da função velocidade é a função aceleração. Encontre as funções velocidade e aceleração para f(x) = sen(N x) * e^(k x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que representa o deslocamento de um objeto, que é . O objetivo aqui é encontrar duas coisas:
  1. Função Velocidade: que é a derivada da função deslocamento.
  2. Função Aceleração: que é a derivada da função velocidade (ou seja, a segunda derivada da função deslocamento).
Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e a derivada das funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a Função Velocidade, que é a derivada de .
A função é um produto de duas funções: e . Quando temos o produto de duas funções, usamos a regra do produto para derivar.
A Regra do Produto é dada por:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e individualmente.
  • Derivada de :
Aqui usamos a regra da cadeia, onde a derivada de é , e tem derivada .
  • Derivada de :
A derivada de é vezes .

Passo 4

Agora, aplicando a Regra do Produto:
Podemos fatorar e escrever:
Essa é a Função Velocidade.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a Função Aceleração, que é a derivada da Função Velocidade .
Temos:
Aqui, também precisamos usar a Regra do Produto, pois é um produto de e .

Passo 6

Vamos derivar cada parte:
  • Derivada de :
  • Derivada de :
Então:

Passo 7

Aplicando novamente a Regra do Produto para :
Substituindo as derivadas:

Passo 8

Vamos simplificar a expressão:
Agrupando os termos semelhantes:
Essa é a Função Aceleração.

Resposta

A função velocidade é:
E a função aceleração é:

Exercícios relacionados

Determinar o valor dea >9 para que integrala^infty 4(x-9)^3 d x=18.
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função f no ponto x_0 indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(l) f(x) = 10^(x - 2), x0 = 2
Dada a equação
partial^2 upartial x^2=1k partial upartial t+betak(u-u0)
onde k, beta e u0 são constantes e as condições de fronteira
u(x, 0)=f(x), u(0, t)=u1, u(l, t)=u2
onde u1 e u2 são constantes, mostrar, por meio da substituição
u(x, t)=u0+v(x, t) e^-beta t
que a equação se reduz a
partial^2 vpartial x^2=1k partial vpartial t
e as condições de fronteira a
v(x, 0)=f(x)-u0, v(0, t)=(u1-u0) e^beta t, v(l, t)=(u2-u0)^beta t
Mostrar portanto que quando u1=u2=u0,
u(x, t)=u0+sumn=1^infty bn sen n pi xl e^-((beta l^2+n^2 pi^2 k) t) / l^2
onde
bn=2l integral0^l f(x) sen n pi xl d x-2 u0n pi(1-cos n pi)
Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
§ 2x^2 + 3y^2 + 12x + 6y + 30 = 0.