A derivada da função deslocamento é a função velocidaće. A derivada da função velocidade é a função aceleração. Encontre as funções velocidade e aceleração para
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que representa o deslocamento de um objeto, que é
. O objetivo aqui é encontrar duas coisas:
- Função Velocidade: que é a derivada da função deslocamento.
- Função Aceleração: que é a derivada da função velocidade (ou seja, a segunda derivada da função deslocamento).
Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e a derivada das funções trigonométricas e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a Função Velocidade, que é a derivada de
.
A função
é um produto de duas funções:
e
. Quando temos o produto de duas funções, usamos a regra do produto para derivar.
A Regra do Produto é dada por:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
individualmente.
- Derivada de
:
Aqui usamos a regra da cadeia, onde a derivada de
é
, e
tem derivada
.
- Derivada de
:
A derivada de
é
vezes
.
Passo 4
Agora, aplicando a Regra do Produto:
Podemos fatorar
e escrever:
Essa é a Função Velocidade.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a Função Aceleração, que é a derivada da Função Velocidade
.
Temos:
Aqui, também precisamos usar a Regra do Produto, pois é um produto de
e
.
Passo 6
Vamos derivar cada parte:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Então:
Passo 7
Aplicando novamente a Regra do Produto para
:
Substituindo as derivadas:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão:
Agrupando os termos semelhantes:
Essa é a Função Aceleração.
Resposta
A função velocidade é:
E a função aceleração é:
Exercícios relacionados
Determinar o valor dea
para que
.
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(l)
(l)
Dada a equação
onde
e
são constantes e as condições de fronteira
onde
e
são constantes, mostrar, por meio da substituição
que a equação se reduz a
e as condições de fronteira a
Mostrar portanto que quando
,
onde
Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
§ .
§