Para cada item abaixo, calcule o valor de: Z1 cdot Z2Z1+Z2
Z1=20 ang<= 0^circ e Z2=j 40

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcularmos o valor de Z1 cdot Z2Z1+Z2, onde Z1 = 20 ang<= 0^circ e Z2 = j40. Estamos lidando com impedâncias em circuitos de corrente alternada, usando números complexos para representar essas impedâncias. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar e multiplicar impedâncias representadas em forma polar e retangular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada impedância representa. Z1 = 20 ang<= 0^circ significa que tem magnitude 20 Ohms e está totalmente na parte real (sem componente imaginária). Já Z2 = j40 está totalmente na parte imaginária, com magnitude 40 Ohms.

Passo 3

Vamos converter Z1 de forma polar para a forma retangular para facilitar os cálculos. A forma polar Z = |Z| ang<= theta pode ser convertida para a forma retangular Z = a + jb usando as fórmulas:
a = |Z| cos(theta) b = |Z| sin(theta)
Para Z1 = 20 ang<= 0^circ:
a = 20 cos(0^circ) = 20 b = 20 sin(0^circ) = 0
Então, Z1 = 20 + j0.

Passo 4

Agora, temos:
Z1 = 20 + j0 Z2 = j40
Vamos calcular o numerador Z1 cdot Z2:
Z1 cdot Z2 = (20 + j0) cdot (j40) = 20 cdot j40 + j0 cdot j40 = j800 + 0 = j800

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o denominador Z1 + Z2:
Z1 + Z2 = (20 + j0) + (j40) = 20 + j40

Passo 6

Agora, temos:
Z1 cdot Z2Z1+Z2 = j80020 + j40
Para resolver essa fração complexa, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador para eliminar a parte imaginária no denominador.
O conjugado de 20 + j40 é 20 - j40.

Passo 7

Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
j80020 + j40 cdot 20 - j4020 - j40 = j800 cdot (20 - j40)(20 + j40)(20 - j40)

Passo 8

Vamos calcular o denominador primeiro:
(20 + j40)(20 - j40) = 20^2 - (j40)^2 = 400 - (-1600) = 400 + 1600 = 2000

Passo 9

Agora, calculando o numerador:
j800 cdot (20 - j40) = j800 cdot 20 - j800 cdot j40 = j16000 - j^2 32000
Sabendo que j^2 = -1, temos:
j16000 - (-1)32000 = j16000 + 32000
Então, o numerador fica 32000 + j16000.

Passo 10

Agora, juntando tudo:
32000 + j160002000 = 320002000 + j160002000 = 16 + j8

Passo 11

Portanto, o valor de Z1 cdot Z2Z1+Z2 é 16 + j8 Ohms. Se preferir em forma polar, podemos calcular a magnitude e o ângulo:
|Z| = raiz16^2 + 8^2 = raiz256 + 64 = raiz320 approx 17,89 theta = arctan(816) = arctan(0,5) approx 26,57^circ
Então, em forma polar: 17,89 ang<= 26,57^circ Ohms.

Resposta

O valor de Z1 cdot Z2Z1+Z2 é 16 + j8 Ohms, ou em forma polar, aproximadamente 17,89 ang<= 26,57^circ Ohms.

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