Em cada item abaixo escreva w como combinação linear de u e v :
w=(-1,14), u=(-1,2) e v=(1,4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever o vetor w=(-1,14) como uma combinação linear dos vetores u=(-1,2) e v=(1,4). Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, onde trabalhamos com combinações lineares para expressar vetores em termos de outros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa combinação linear. Queremos encontrar dois números, vamos chamar de a e b, que multiplicam os vetores u e v, respectivamente, e somam para dar o vetor w. Ou seja:
w = au + bv
Substituindo os vetores pelos valores dados:
(-1, 14) = a(-1, 2) + b(1, 4)

Passo 3

Agora, vamos distribuir os coeficientes a e b nos vetores:
(-1, 14) = (-a, 2a) + (b, 4b)
Em seguida, somamos as componentes correspondentes:
(-1, 14) = (-a + b, 2a + 4b)
Isso nos dá um sistema de duas equações:
  1. -a + b = -1
  2. 2a + 4b = 14

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a e b. Da primeira equação:
- a + b = -1 Rightarrow a = b + 1
Agora, substituímos a na segunda equação:
2(b + 1) + 4b = 14 2b + 2 + 4b = 14 6b + 2 = 14 6b = 12 b = 2
Agora que temos b = 2, substituímos de volta para encontrar a:
a = 2 + 1 a = 3

Resposta

Portanto, a combinação linear é:
w = 3,u + 2,v

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