Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares:
dada por
.
Passo 1
Beleza, então temos um exercício sobre transformações lineares, especificamente uma função
definida por
. Vamos precisar entender dois conceitos principais: núcleo e imagem de uma transformação linear. O núcleo é o conjunto de todos os vetores que a transformação manda para zero, e a imagem é o conjunto de todos os possíveis resultados que a transformação pode produzir.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo da transformação
. O núcleo, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores
em
tais que
.
Isso significa que precisamos resolver a equação:
Passo 3
Resolvendo a equação
, podemos expressar uma variável em função da outra. Por exemplo, podemos escrever
.
Então, o núcleo é todo vetor da forma
, onde
é um número real. Em termos de espaço vetorial, isso pode ser representado como:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a imagem de
, denotada por
. A imagem é o conjunto de todos os valores que
pode assumir quando
varia em
.
A função
é uma combinação linear dos componentes
e
. Como
e
podem ser quaisquer números reais, a soma
também pode ser qualquer número real.
Portanto, a imagem de
é todo o conjunto dos números reais:
Resposta
O núcleo de
é
e a imagem de
é
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
-espaços vetoriais e
uma transformação linear. Mostre que
é um subespaços de
e que
é subespaço de
.
Em cada item abaixo escreva
como combinação linear de
e
:
e
Em cada item abaixo escreva
como combinação linear de
e
:
e
Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares:
dada por
.