Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares: T: R^2 R dada por T(x, y)=x+y.

Passo 1

Beleza, então temos um exercício sobre transformações lineares, especificamente uma função definida por . Vamos precisar entender dois conceitos principais: núcleo e imagem de uma transformação linear. O núcleo é o conjunto de todos os vetores que a transformação manda para zero, e a imagem é o conjunto de todos os possíveis resultados que a transformação pode produzir.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo da transformação x + y = 0 . O núcleo, denotado por , é o conjunto de todos os vetores em tais que .
Isso significa que precisamos resolver a equação:

Passo 3

Resolvendo a equação ker(T) = (x, -x) mid x in R , podemos expressar uma variável em função da outra. Por exemplo, podemos escrever .
Então, o núcleo é todo vetor da forma , onde é um número real. Em termos de espaço vetorial, isso pode ser representado como:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a imagem de Im(T) = R , denotada por . A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir quando varia em .
A função é uma combinação linear dos componentes e . Como e podem ser quaisquer números reais, a soma também pode ser qualquer número real.
Portanto, a imagem de é todo o conjunto dos números reais:

Resposta

O núcleo de é e a imagem de é .

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