Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares: dada por .

Passo 1

Beleza, então temos um exercício sobre transformações lineares, especificamente uma função definida por . Vamos precisar entender dois conceitos principais: núcleo e imagem de uma transformação linear. O núcleo é o conjunto de todos os vetores que a transformação manda para zero, e a imagem é o conjunto de todos os possíveis resultados que a transformação pode produzir.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo da transformação . O núcleo, denotado por , é o conjunto de todos os vetores em tais que .
Isso significa que precisamos resolver a equação:

Passo 3

Resolvendo a equação , podemos expressar uma variável em função da outra. Por exemplo, podemos escrever .
Então, o núcleo é todo vetor da forma , onde é um número real. Em termos de espaço vetorial, isso pode ser representado como:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a imagem de , denotada por . A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir quando varia em .
A função é uma combinação linear dos componentes e . Como e podem ser quaisquer números reais, a soma também pode ser qualquer número real.
Portanto, a imagem de é todo o conjunto dos números reais:

Resposta

O núcleo de é e a imagem de é .

Exercícios relacionados

Sejam e -espaços vetoriais e uma transformação linear. Mostre que é um subespaços de e que é subespaço de .
Em cada item abaixo escreva como combinação linear de e :
e
Em cada item abaixo escreva como combinação linear de e :
e
Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares: dada por .