Calcule, usando a eliminação de Gauss-Jordan, as inversas das seguintes matrizes (se existir).
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz inversa da matriz dada usando o método de eliminação de Gauss-Jordan. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente de matrizes e suas inversas. Para isso, vamos montar uma matriz aumentada combinando a matriz original com a matriz identidade e, passo a passo, transformar a parte da esquerda (a matriz original) na identidade. O que sobrar na parte da direita será a matriz inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada combinando a matriz original com a identidade:
Passo 3
Começamos eliminando os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Para isso:
-
Subtraímos a primeira linha da segunda linha:
[ccc|ccc 1 & 2 & -4 & 1 & 0 & 0 0 & 3 & 3 & -1 & 1 & 0 0 & 7 & 9 & -3 & 0 & 1 ] -
Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
Isso resulta em:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os seus elementos por 3 para que o primeiro número dessa linha seja 1:
Ficando assim:
Passo 5
Vamos eliminar o 2 acima do 1 na segunda coluna e o 7 abaixo dele:
-
Subtraímos 2 vezes a segunda linha da primeira linha:
[ccc|ccc 1 & 0 & -6 & 53 & -23 & 0 0 & 1 & 1 & -13 & 13 & 0 0 & 0 & 2 & -23 & -73 & 1 ] -
Subtraímos 7 vezes a segunda linha da terceira linha:
Após essas operações, a matriz fica:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a terceira linha dividindo todos os seus elementos por 2 para que o último número seja 1:
Ficando assim:
Passo 7
Vamos agora eliminar os -6 na primeira linha e o 1 na segunda linha, usando a terceira linha:
-
Adicionamos 6 vezes a terceira linha à primeira linha:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -223 & -233 & 3 0 & 1 & 0 & 76 & 32 & -12 0 & 0 & 1 & -32 & -76 & 12 ] -
Subtraímos 1 vez a terceira linha da segunda linha:
Após essas operações, a matriz fica:
Resposta
A matriz inversa é: