Calcule, usando a eliminação de Gauss-Jordan, as inversas das seguintes matrizes (se existir). (i=raiz-1).
(g) (ccc1 & 2 & -4 1 & 5 & -1 3 & 13 & -3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz inversa da matriz dada usando o método de eliminação de Gauss-Jordan. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente de matrizes e suas inversas. Para isso, vamos montar uma matriz aumentada combinando a matriz original com a matriz identidade e, passo a passo, transformar a parte da esquerda (a matriz original) na identidade. O que sobrar na parte da direita será a matriz inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada combinando a matriz original com a identidade:
[ccc|ccc 1 & 2 & -4 & 1 & 0 & 0 1 & 5 & -1 & 0 & 1 & 0 3 & 13 & -3 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Começamos eliminando os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Para isso:
  • Subtraímos a primeira linha da segunda linha:
    [ccc|ccc 1 & 2 & -4 & 1 & 0 & 0 0 & 3 & 3 & -1 & 1 & 0 0 & 7 & 9 & -3 & 0 & 1 ]
  • Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
Isso resulta em:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os seus elementos por 3 para que o primeiro número dessa linha seja 1:
Linha 2 = 13 times Linha 2
Ficando assim:
[ccc|ccc 1 & 2 & -4 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & -13 & 13 & 0 0 & 7 & 9 & -3 & 0 & 1 ]

Passo 5

Vamos eliminar o 2 acima do 1 na segunda coluna e o 7 abaixo dele:
  • Subtraímos 2 vezes a segunda linha da primeira linha:
    [ccc|ccc 1 & 0 & -6 & 53 & -23 & 0 0 & 1 & 1 & -13 & 13 & 0 0 & 0 & 2 & -23 & -73 & 1 ]
  • Subtraímos 7 vezes a segunda linha da terceira linha:
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a terceira linha dividindo todos os seus elementos por 2 para que o último número seja 1:
Linha 3 = 12 times Linha 3
Ficando assim:
[ccc|ccc 1 & 0 & -6 & 53 & -23 & 0 0 & 1 & 1 & -13 & 13 & 0 0 & 0 & 1 & -32 & -76 & 12 ]

Passo 7

Vamos agora eliminar os -6 na primeira linha e o 1 na segunda linha, usando a terceira linha:
  • Adicionamos 6 vezes a terceira linha à primeira linha:
    [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -223 & -233 & 3 0 & 1 & 0 & 76 & 32 & -12 0 & 0 & 1 & -32 & -76 & 12 ]
  • Subtraímos 1 vez a terceira linha da segunda linha:
Após essas operações, a matriz fica:

Resposta

A matriz inversa é:
(ccc -dfrac223 & -dfrac233 & 3 dfrac76 & dfrac32 & -dfrac12 -dfrac32 & -dfrac76 & dfrac12 )

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