Sejam
e
-espaços vetoriais e
uma transformação linear. Mostre que
é um subespaços de
e que
é subespaço de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos dois espaços vetoriais,
e
, sobre um corpo
, e uma transformação linear
. A tarefa é mostrar que o núcleo de
, denotado por
, é um subespaço de
e que a imagem de
,
, é um subespaço de
. Basicamente, vamos explorar algumas propriedades fundamentais das transformações lineares e como elas se relacionam com subespaços.
Passo 2
Vamos começar mostrando que
é um subespaço de
. Por definição, o núcleo de
é o conjunto de todos os vetores em
que são mapeados para o vetor zero em
:
Para provar que
é um subespaço, precisamos verificar três propriedades básicas de subespaços:
- Contém o vetor zero: O vetor zero de
deve estar em . - Fechado sob adição: Se dois vetores estão em
, a soma deles também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em
, qualquer múltiplo escalar dele também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.
Passo 3
1. O vetor zero está em
:
Sabemos que
é uma transformação linear, então:
Portanto, o vetor zero de
está em
.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Sejam
. Então:
Como
é linear:
Assim,
.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Seja
e
. Então:
Novamente, pela linearidade de
:
Portanto,
.
Passo 6
Com isso, concluímos que
satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um subespaço de
.
Passo 7
Agora, vamos mostrar que
é um subespaço de
. A imagem de
é o conjunto de todos os vetores em
que são alcançados por
, ou seja:
Para provar que
é um subespaço de
, também precisamos verificar as três propriedades dos subespaços.
Passo 8
1. O vetor zero está em
:
Sabemos que
, então o vetor zero de
está em
.
Passo 9
2. Fechado sob adição:
Sejam
. Então existem
tais que:
Pela linearidade de
:
Assim,
também está em
.
Passo 10
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Seja
e
. Então existe
tal que
. Pela linearidade de
:
Portanto,
.
Resposta
Com as propriedades verificadas, concluímos que
é um subespaço de
e que
é um subespaço de
.