Sejam U e V K-espaços vetoriais e T: U longrightarrow V uma transformação linear. Mostre que Nuc(T) é um subespaços de U e que Im(T) é subespaço de V.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos dois espaços vetoriais, e , sobre um corpo , e uma transformação linear . A tarefa é mostrar que o núcleo de , denotado por , é um subespaço de e que a imagem de , , é um subespaço de . Basicamente, vamos explorar algumas propriedades fundamentais das transformações lineares e como elas se relacionam com subespaços.

Passo 2

Vamos começar mostrando que Nuc(T) = u in U mid T(u) = 0 é um subespaço de . Por definição, o núcleo de é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em :
Para provar que é um subespaço, precisamos verificar três propriedades básicas de subespaços:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero de deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se dois vetores estão em , a soma deles também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em , qualquer múltiplo escalar dele também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.

Passo 3

1. O vetor zero está em T(0) = 0 :
Sabemos que é uma transformação linear, então:
Portanto, o vetor zero de está em .

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Sejam T(u) = 0 e T(v) = 0 . Então:
T(u + v) = T(u) + T(v) = 0 + 0 = 0
Como é linear:
Assim, .

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Seja T(u) = 0 e T(cu) = cT(u) = c0 = 0 . Então:
Novamente, pela linearidade de :
Portanto, .

Passo 6

Com isso, concluímos que satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um subespaço de .

Passo 7

Agora, vamos mostrar que Im(T) = T(u) mid u in U é um subespaço de . A imagem de é o conjunto de todos os vetores em que são alcançados por , ou seja:
Para provar que é um subespaço de , também precisamos verificar as três propriedades dos subespaços.

Passo 8

1. O vetor zero está em :
Sabemos que , então o vetor zero de está em .

Passo 9

2. Fechado sob adição:
Sejam w1 = T(u1) e w2 = T(u2) . Então existem w1 + w2 = T(u1) + T(u2) = T(u1 + u2) tais que:
Pela linearidade de :
Assim, também está em .

Passo 10

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Seja cw = cT(u) = T(cu) e . Então existe tal que . Pela linearidade de :
Portanto, .

Resposta

Com as propriedades verificadas, concluímos que é um subespaço de e que é um subespaço de .

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