Em cada item, calcule os dois lados e verifique que integral duplaR(partial F2partial x-partial F1partial y) d A=integralpartial R F cdot d r, em que F=(F1, F2).
(a) F(x, y)=(y,-x) e R é o disco x^2+y^2 <= 16.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar a igualdade entre a integral dupla e a integral de contorno para o campo vetorial F(x, y) = (y, -x) no disco R definido por x^2 + y^2 <= 16. Vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha e integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na integral dupla:
partial F2partial x = partial (-x)partial x = -1
partial F1partial y = partial ypartial y = 1

Passo 3

Agora, substituímos essas derivadas na expressão da integral dupla:
integral duplaR ( partial F2partial x - partial F1partial y ) dA = integral duplaR (-1 - 1) dA = integral duplaR (-2) dA

Passo 4

A integral dupla de uma constante sobre uma região é igual à constante vezes a área da região. Então:
integral duplaR (-2) dA = -2 times Área do disco Á
Como o raio do disco R é 4 (já que x^2 + y^2 <= 16 Rightarrow r = 4), a área é:
Área = pi r^2 = pi (4)^2 = 16pi Á
Portanto:
integral duplaR (-2) dA = -2 times 16pi = -32pi

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de contorno integralpartial R F cdot dr. Primeiro, precisamos parametrizar a borda do disco R, que é o círculo de raio 4.
Usando coordenadas polares, uma parametrização conveniente é:
x = 4costheta
y = 4sintheta
com theta indo de 0 a 2pi.

Passo 6

Calculamos os diferenciais:
dx = -4sintheta , dtheta
dy = 4costheta , dtheta

Passo 7

Substituímos x, y, dx e dy na integral de contorno:
integral0^2pi F cdot dr = integral0^2pi ( y , dx + (-x) , dy ) = integral0^2pi ( 4sintheta cdot (-4sintheta , dtheta) + (-4costheta) cdot 4costheta , dtheta )

Passo 8

Simplificando a expressão:
= integral0^2pi ( -16sin^2theta -16cos^2theta ) dtheta = -16 integral0^2pi (sin^2theta + cos^2theta) dtheta
Sabemos que sin^2theta + cos^2theta = 1, então:
= -16 integral0^2pi 1 , dtheta = -16 [theta]0^2pi = -16 (2pi - 0) = -32pi

Resposta

Conseguimos verificar que ambas as integrais são iguais a -32pi, confirmando o Teorema de Green para esse caso.

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Verifique a igualdade integral duplaS nabla times F cdot d S=integralpartial S F cdot d r do teorema de Stokes com F(x, y, z)=(y, 0,0) e S o hemisfério x^2+y^2+z^2=4 e z >= 0 com orientação para cima. Lembre-se de orientar partial S de forma compatível com a orientação de S.
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© F(x, y)=(tg y, x sec ^2 y) e C é qualquer curva com ponto inicial (1,0) e ponto final (0, pi4).
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