Em cada item, calcule os dois lados e verifique que
, em que
.
(a)
e
é o disco
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar a igualdade entre a integral dupla e a integral de contorno para o campo vetorial
no disco
definido por
. Vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha e integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na integral dupla:
Passo 3
Agora, substituímos essas derivadas na expressão da integral dupla:
Passo 4
A integral dupla de uma constante sobre uma região é igual à constante vezes a área da região. Então:
Como o raio do disco
é
(já que
), a área é:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de contorno
. Primeiro, precisamos parametrizar a borda do disco
, que é o círculo de raio
.
Usando coordenadas polares, uma parametrização conveniente é:
com
indo de
a
.
Passo 6
Calculamos os diferenciais:
Passo 7
Substituímos
,
,
e
na integral de contorno:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Sabemos que
, então:
Resposta
Conseguimos verificar que ambas as integrais são iguais a
, confirmando o Teorema de Green para esse caso.