Em cada item, calcule a integral integralC F cdot d r.
© F(x, y)=(tg y, x sec ^2 y) e C é qualquer curva com ponto inicial (1,0) e ponto final (0, pi4).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de linha integralC F cdot dr, onde o campo vetorial é F(x, y) = (tan y, x sec^2 y) e a curva C vai do ponto inicial (1,0) até o ponto final (0, pi4). Para resolver isso, vamos usar o conceito de campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial F é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial phi(x, y) tal que F = nabla phi, ou seja, F = ( partial phipartial x, partial phipartial y ). Para isso, precisamos checar se as derivadas cruzadas são iguais:
partial F1partial y = partial (tan y)partial y = sec^2 y
partial F2partial x = partial (x sec^2 y)partial x = sec^2 y
Como partial F1partial y = partial F2partial x, o campo é conservativo.

Passo 3

Agora que sabemos que F é conservativo, vamos encontrar a função potencial phi(x, y). Sabemos que:
partial phipartial x = F1 = tan y
Integrando em relação a x:
phi(x, y) = x tan y + g(y)
Onde g(y) é uma função que depende apenas de y. Para encontrar g(y), derivamos phi em relação a y e igualamos a F2:
partial phipartial y = x sec^2 y + g'(y) = x sec^2 y
Isso implica que g'(y) = 0, então g(y) é uma constante, que podemos considerar como zero.

Resposta

O valor da integral é 0.

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