Em cada item, calcule a integral
.
©
e
é qualquer curva com ponto inicial
e ponto final
.
©
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial é
e a curva
vai do ponto inicial
até o ponto final
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial
tal que
, ou seja,
. Para isso, precisamos checar se as derivadas cruzadas são iguais:
Como
, o campo é conservativo.
Passo 3
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
. Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos considerar como zero.
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Em cada item, calcule os dois lados e verifique que
, em que
.
(a) e
é o disco
.
(a)
Em cada item, use o teorema de Stokes para calcular a integral
.
(b) e
é o hemisfério
e
com orientação para cima.
(b)
Em cada item, calcule os dois lados e verifique que
.
(b) e
é o cubo
.
(b)
Em cada item, calcule os dois lados e verifique que
, em que
.
(b) e
é o retângulo
.
(b)