Em cada item, calcule os dois lados e verifique que
.
(b)
e
é o cubo
.
(b)
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para verificar o Teorema da Divergência para o campo vetorial
no cubo
. Isso significa que precisamos calcular os dois lados da equação:
Para resolver isso, vamos seguir passo a passo:
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência de
, que é
. A divergência é dada pela soma das derivadas parciais das componentes de
em relação às suas respectivas variáveis:
Calculando cada derivada:
Então,
Agora, vamos integrar isso sobre o volume
:
Como
é o cubo
, a integral fica:
Vamos integrar passo a passo:
Primeiro, em relação a
:
Agora, integrar em relação a
e
:
Então, o lado esquerdo da equação é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de superfície
. A fronteira
do cubo
tem 6 faces. Vamos calcular a contribuição de cada face.
Para simplificar, vamos identificar as faces e suas normais:
- Face
: normal - Face
: normal - Face
: normal - Face
: normal - Face
: normal - Face
: normal
Vamos calcular
para cada face e integrar:
-
Face
: -
-
- Integral:
-
-
Face
: -
-
- Integral:
-
-
Face
: -
-
- Integral:
-
-
Face
: -
-
- Integral:
-
-
Face
: -
-
- Integral:
-
-
Face
: -
-
- Integral:
-
Somando todas as integrais das faces:
Resposta
Os dois lados da equação do Teorema da Divergência resultam em
. Portanto,