Em cada item, calcule os dois lados e verifique que integral triplaR nabla cdot F d V=integral duplapartial R F cdot d S.
(b) F(x, y, z)=(3 x, x y, 2 x z) e R é o cubo [0,1] times[0,1] times[0,1].

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para verificar o Teorema da Divergência para o campo vetorial F(x, y, z) = (3x, xy, 2xz) no cubo R = [0,1] times [0,1] times [0,1]. Isso significa que precisamos calcular os dois lados da equação:
integral triplaR nabla cdot F , dV = integral duplapartial R F cdot dS
Para resolver isso, vamos seguir passo a passo:

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de F, que é nabla cdot F. A divergência é dada pela soma das derivadas parciais das componentes de F em relação às suas respectivas variáveis:
nabla cdot F = partialpartial x(3x) + partialpartial y(xy) + partialpartial z(2xz)
Calculando cada derivada:
  • partialpartial x(3x) = 3
  • partialpartial y(xy) = x
  • partialpartial z(2xz) = 2x
Então,
nabla cdot F = 3 + x + 2x = 3 + 3x
Agora, vamos integrar isso sobre o volume R:
integral triplaR (3 + 3x) , dV
Como R é o cubo [0,1] times [0,1] times [0,1], a integral fica:
integral0^1 integral0^1 integral0^1 (3 + 3x) , dx , dy , dz
Vamos integrar passo a passo:
Primeiro, em relação a x:
integral0^1 (3 + 3x) , dx = [3x + 32x^2]0^1 = 3(1) + 32(1)^2 - 0 = 3 + 32 = 92
Agora, integrar em relação a y e z:
integral0^1 integral0^1 92 , dy , dz = 92 integral0^1 integral0^1 , dy , dz = 92 times 1 times 1 = 92
Então, o lado esquerdo da equação é 92.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de superfície integral duplapartial R F cdot dS. A fronteira partial R do cubo R tem 6 faces. Vamos calcular a contribuição de cada face.
Para simplificar, vamos identificar as faces e suas normais:
  1. Face x=0: normal (-1, 0, 0)
  2. Face x=1: normal (1, 0, 0)
  3. Face y=0: normal (0, -1, 0)
  4. Face y=1: normal (0, 1, 0)
  5. Face z=0: normal (0, 0, -1)
  6. Face z=1: normal (0, 0, 1)
Vamos calcular F cdot n para cada face e integrar:
  1. Face x=0:
    • F = (0, 0, 0)
    • F cdot n = 0
    • Integral: 0
  2. Face x=1:
    • F = (3, y, 2z)
    • F cdot n = 3
    • Integral: integral0^1 integral0^1 3 , dy , dz = 3 times 1 times 1 = 3
  3. Face y=0:
    • F = (3x, 0, 2xz)
    • F cdot n = 0
    • Integral: 0
  4. Face y=1:
    • F = (3x, x, 2xz)
    • F cdot n = x
    • Integral: integral0^1 integral0^1 x , dx , dz = integral0^1 [12x^2]0^1 dz = 12 times 1 = 12
  5. Face z=0:
    • F = (3x, xy, 0)
    • F cdot n = 0
    • Integral: 0
  6. Face z=1:
    • F = (3x, xy, 2x)
    • F cdot n = 2x
    • Integral: integral0^1 integral0^1 2x , dx , dy = 2 times 12 times 1 = 1
Somando todas as integrais das faces:
0 + 3 + 0 + 12 + 0 + 1 = 4.5 = 92

Resposta

Os dois lados da equação do Teorema da Divergência resultam em 92. Portanto,
integral triplaR nabla cdot F , dV = integral duplapartial R F cdot dS = 92

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