Em cada item, calcule os dois lados e verifique que .
(b) e é o cubo .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para verificar o Teorema da Divergência para o campo vetorial no cubo . Isso significa que precisamos calcular os dois lados da equação:
Para resolver isso, vamos seguir passo a passo:

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de , que é . A divergência é dada pela soma das derivadas parciais das componentes de em relação às suas respectivas variáveis:
Calculando cada derivada:
Então,
Agora, vamos integrar isso sobre o volume :
Como é o cubo , a integral fica:
Vamos integrar passo a passo:
Primeiro, em relação a :
Agora, integrar em relação a e :
Então, o lado esquerdo da equação é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de superfície . A fronteira do cubo tem 6 faces. Vamos calcular a contribuição de cada face.
Para simplificar, vamos identificar as faces e suas normais:
  1. Face : normal
  2. Face : normal
  3. Face : normal
  4. Face : normal
  5. Face : normal
  6. Face : normal
Vamos calcular para cada face e integrar:
  1. Face :
    • Integral:
  2. Face :
    • Integral:
  3. Face :
    • Integral:
  4. Face :
    • Integral:
  5. Face :
    • Integral:
  6. Face :
    • Integral:
Somando todas as integrais das faces:

Resposta

Os dois lados da equação do Teorema da Divergência resultam em . Portanto,

Exercícios relacionados

Em cada item, calcule a integral .
© e é qualquer curva com ponto inicial e ponto final .
Em cada item, calcule os dois lados e verifique que , em que .
(a) e é o disco .
Em cada item, calcule os dois lados e verifique que , em que .
(b) e é o retângulo .
Em cada item, use o teorema de Green para calcular a integral . Alerta! Lembre-se de que o teorema de Green exige que a curva esteja orientada de forma compatível com a região. Caso não esteja, é necessário inverter o sinal da resposta ao final.
© e é a fronteira do triângulo de vértices e orientada no sentido horário.