Em cada item, use o teorema de Stokes para calcular a integral integral duplaS nabla times F cdot d S.
(b) F(x, y, z)=(y e^z, x y sen z, x cos z) e S é o hemisfério x^2+y^2+z^2=16 e z >= 0 com orientação para cima.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de superfície . A função vetorial dada é e a superfície é um hemisfério definido pela equação com e orientação para cima. Vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha do campo vetorial ao longo da borda da superfície.

Passo 2

Primeiro, identificamos a borda da superfície . Como é o hemisfério com , sua borda é o círculo no plano .

Passo 3

Segundo o Teorema de Stokes:
integral duplaS nabla times F cdot d S = ointpartial S F cdot dr
Isso significa que podemos calcular a integral de superfície calculando a integral de linha ao longo da borda .

Passo 4

Vamos parametrizar a curva r(t) = (4cos t,, 4sin t,, 0), t in [0, 2pi] . No plano , a curva é um círculo de raio 4 (já que ). Podemos usar a parametrização:

Passo 5

Calculamos a derivada de drdt = (-4sin t,, 4cos t,, 0) em relação a :

Passo 6

Agora, avaliamos o campo F(r(t)) = (y e^0,, x y sin 0,, x cos 0) = 4sin t,, 0,, 4cos t na curva parametrizada:

Passo 7

Calculamos o produto escalar F cdot drdt = (4sin t)(-4sin t) + (0)(4cos t) + (4cos t)(0) = -16 sin^2 t :

Passo 8

Integrando de ointpartial S F cdot dr = integral0^2pi -16 sin^2 t , dt a -16 times pi = -16pi :
Sabemos que , então:

Resposta

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Verifique a igualdade integral duplaS nabla times F cdot d S=integralpartial S F cdot d r do teorema de Stokes com F(x, y, z)=(y, 0,0) e S o hemisfério x^2+y^2+z^2=4 e z >= 0 com orientação para cima. Lembre-se de orientar partial S de forma compatível com a orientação de S.
Use coordenadas polares para calcular as integrais.
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 y d y d x
Em cada item, calcule os dois lados e verifique que integral duplaR(partial F2partial x-partial F1partial y) d A=integralpartial R F cdot d r, em que F=(F1, F2).
(a) F(x, y)=(y,-x) e R é o disco x^2+y^2 <= 16.
Em cada item, calcule a integral integralC F cdot d r.
© F(x, y)=(tg y, x sec ^2 y) e C é qualquer curva com ponto inicial (1,0) e ponto final (0, pi4).