Em cada item, use o teorema de Stokes para calcular a integral
.
(b)
e
é o hemisfério
e
com orientação para cima.
(b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de superfície
. A função vetorial dada é
e a superfície
é um hemisfério definido pela equação
com
e orientação para cima. Vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha do campo vetorial ao longo da borda da superfície.
Passo 2
Primeiro, identificamos a borda da superfície
. Como
é o hemisfério
com
, sua borda é o círculo
no plano
.
Passo 3
Segundo o Teorema de Stokes:
Isso significa que podemos calcular a integral de superfície calculando a integral de linha ao longo da borda
.
Passo 4
Vamos parametrizar a curva
. No plano
, a curva é um círculo de raio 4 (já que
). Podemos usar a parametrização:
Passo 5
Calculamos a derivada de
em relação a
:
Passo 6
Agora, avaliamos o campo
na curva parametrizada:
Passo 7
Calculamos o produto escalar
:
Passo 8
Integrando de
a
:
Sabemos que
, então:
Resposta
Exercícios relacionados
Verifique a igualdade
do teorema de Stokes com
e
o hemisfério
e
com orientação para cima. Lembre-se de orientar
de forma compatível com a orientação de
.
Use coordenadas polares para calcular as integrais.
Em cada item, calcule os dois lados e verifique que
, em que
.
(a) e
é o disco
.
(a)
Em cada item, calcule a integral
.
© e
é qualquer curva com ponto inicial
e ponto final
.
©