Em cada item, calcule a integral
.
(a)
e
é a curva dada pelo arco da elipse
de
e
.
(a)
Passo 1
Então, temos que calcular a integral de linha
, onde
e
é a curva definida por
, indo de
até
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de campos vetoriais conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Para isso, verificamos se as derivadas parciais cruzadas são iguais:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função potencial
. Integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
. Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá
, então
é uma constante. Portanto, a função potencial é:
Passo 4
Com a função potencial encontrada, a integral de linha
é simplesmente
, onde
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Resposta
A integral de linha vale
.