Em cada item, calcule a integral integralC F cdot d r.
(a) F(x, y)=(3+2 x y^2, 2 x^2 y) e C é a curva dada pelo arco da elipse y=1x de (1,1) e (4, 14).

Passo 1

Então, temos que calcular a integral de linha , onde e é a curva definida por , indo de até . Para resolver isso, vamos usar o conceito de campos vetoriais conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial partial F1partial y = partial (3 + 2xy^2)partial y = 4xy é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial partial F2partial x = partial (2x^2y)partial x = 4xy tal que . Para isso, verificamos se as derivadas parciais cruzadas são iguais:
Como , o campo é conservativo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função potencial f(x, y) = integral (3 + 2xy^2),dx = 3x + x^2y^2 + C(y) . Integramos partial fpartial y = 2x^2y + C'(y) = 2x^2y em relação a f(x, y) = 3x + x^2y^2 :
Aqui, é uma função que depende apenas de . Para determinar , derivamos em relação a e igualamos a :
Isso nos dá , então é uma constante. Portanto, a função potencial é:

Passo 4

Com a função potencial encontrada, a integral de linha f(4, 14) = 3 times 4 + 4^2 times (14)^2 = 12 + 16 times 116 = 12 + 1 = 13 é simplesmente f(1, 1) = 3 times 1 + 1^2 times 1^2 = 3 + 1 = 4 , onde e .
Calculando :
Calculando :

Resposta

A integral de linha vale .

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