Em cada item, calcule a integral
diretamente e também pelo teorema do campo conservativo e verifique que o resultado é o mesmo.
©
e
é o segmento de reta com ponto inicial
e ponto final
.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Aqui, a gente precisa calcular a integral de linha
de duas formas: diretamente e usando o teorema do campo conservativo. A função que estamos trabalhando é
, e a curva
é o segmento de reta que vai do ponto
até o ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo vetorial, especificamente o conceito de gradiente e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente, representado por
, é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais de
em relação a cada variável.
Então, vamos calcular as derivadas parciais:
Calculando cada termo:
Então,
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a curva
. Como
é um segmento de reta que vai de
a
, podemos usar um parâmetro
que varia de 0 a 1.
A parametrização fica assim:
Portanto:
E a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral diretamente. A integral de linha é dada por:
Substituindo
e
:
Então:
Integrando:
Passo 5
Agora, vamos usar o teorema do campo conservativo, que diz que se o campo é conservativo (ou seja, é o gradiente de alguma função), então a integral de linha depende apenas dos valores da função nos pontos inicial e final.
Ou seja:
Calculando
nos pontos:
Então:
Resposta
A integral
é igual a
pelas duas abordagens.
Exercícios relacionados
Em cada item, use o teorema do campo conservativo para calcular a integral
.
© e
é a elipse
com orientação no sentido anti-horário.
©
Em cada item, use o teorema do campo conservativo para calcular a integral
.
(a) e
é a curva dada pela metade superior da elipse
com orientação no sentido anti-horário.
(a)
Em cada item, calcule a integral
.
© e
é qualquer curva com ponto inicial
e ponto final
.
©
Em cada item, calcule a integral
.
(a) e
é a curva dada pelo arco da elipse
de
e
.
(a)