Em cada item, calcule a integral integralC nabla f cdot d r diretamente e também pelo teorema do campo conservativo e verifique que o resultado é o mesmo.
© f(x, y, z)=2 x^2-y+z e C é o segmento de reta com ponto inicial (1,2,-1) e ponto final (0,2,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Aqui, a gente precisa calcular a integral de linha integralC nabla f cdot d r de duas formas: diretamente e usando o teorema do campo conservativo. A função que estamos trabalhando é f(x, y, z) = 2x^2 - y + z, e a curva C é o segmento de reta que vai do ponto (1,2,-1) até o ponto (0,2,0). Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo vetorial, especificamente o conceito de gradiente e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função f. O gradiente, representado por nabla f, é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais de f em relação a cada variável.
Então, vamos calcular as derivadas parciais:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )
Calculando cada termo:
partial fpartial x = 4x, partial fpartial y = -1, partial fpartial z = 1
Então,
nabla f = (4x, -1, 1)

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a curva C. Como C é um segmento de reta que vai de (1,2,-1) a (0,2,0), podemos usar um parâmetro t que varia de 0 a 1.
A parametrização fica assim:
r(t) = (1 - t)(1, 2, -1) + t(0, 2, 0) = (1 - t, 2, -1 + t)
Portanto:
x(t) = 1 - t, y(t) = 2, z(t) = -1 + t
E a derivada de r(t) em relação a t é:
drdt = (-1, 0, 1)

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral diretamente. A integral de linha é dada por:
integralC nabla f cdot d r = integral0^1 nabla f(r(t)) cdot drdt dt
Substituindo nabla f e drdt:
nabla f(r(t)) = (4(1 - t), -1, 1)
Então:
integral0^1 (4(1 - t), -1, 1) cdot (-1, 0, 1) dt = integral0^1 [-4(1 - t) + 0 + 1] dt = integral0^1 (-4 + 4t + 1) dt = integral0^1 (-3 + 4t) dt
Integrando:
[ -3t + 2t^2 ]0^1 = (-3 times 1 + 2 times 1^2) - (0) = -3 + 2 = -1

Passo 5

Agora, vamos usar o teorema do campo conservativo, que diz que se o campo é conservativo (ou seja, é o gradiente de alguma função), então a integral de linha depende apenas dos valores da função nos pontos inicial e final.
Ou seja:
integralC nabla f cdot d r = f(final) - f(inicial)
Calculando f nos pontos:
f(0, 2, 0) = 2(0)^2 - 2 + 0 = -2
f(1, 2, -1) = 2(1)^2 - 2 + (-1) = 2 - 2 -1 = -1
Então:
f(final) - f(inicial) = -2 - (-1) = -1

Resposta

A integral integralC nabla f cdot d r é igual a -1 pelas duas abordagens.

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