Em cada item, calcule a integral diretamente e também pelo teorema do campo conservativo e verifique que o resultado é o mesmo.
© e é o segmento de reta com ponto inicial e ponto final .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Aqui, a gente precisa calcular a integral de linha de duas formas: diretamente e usando o teorema do campo conservativo. A função que estamos trabalhando é , e a curva é o segmento de reta que vai do ponto até o ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo vetorial, especificamente o conceito de gradiente e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente, representado por , é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais de em relação a cada variável.
Então, vamos calcular as derivadas parciais:
Calculando cada termo:
Então,

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a curva . Como é um segmento de reta que vai de a , podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1.
A parametrização fica assim:
Portanto:
E a derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral diretamente. A integral de linha é dada por:
Substituindo e :
Então:
Integrando:

Passo 5

Agora, vamos usar o teorema do campo conservativo, que diz que se o campo é conservativo (ou seja, é o gradiente de alguma função), então a integral de linha depende apenas dos valores da função nos pontos inicial e final.
Ou seja:
Calculando nos pontos:
Então:

Resposta

A integral é igual a pelas duas abordagens.

Exercícios relacionados

Em cada item, use o teorema do campo conservativo para calcular a integral .
© e é a elipse com orientação no sentido anti-horário.
Em cada item, use o teorema do campo conservativo para calcular a integral .
(a) e é a curva dada pela metade superior da elipse com orientação no sentido anti-horário.
Em cada item, calcule a integral .
© e é qualquer curva com ponto inicial e ponto final .
Em cada item, calcule a integral .
(a) e é a curva dada pelo arco da elipse de e .