O conjunto dos pontos interseção da curva r(t)=t^2 i-t j+2(t-1) k com o plano x+y+z=0 está contido no paraboloide de equação
Escolha uma opção:
l 3 z=(x-1)^2+(y+1)^2 z=x^2+y^2 -3 z=(x+1)^2+(y-1)^2 -3 z=(x-1)^2+(y+1)^2 3 z=(x+1)^2+(y-1)^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma curva definida por r(t) = t^2 i - t j + 2(t-1) k e um plano descrito pela equação x + y + z = 0. A missão aqui é encontrar onde essa curva cruza o plano e mostrar que esses pontos estão dentro de um paraboloide específico. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a interseção entre uma curva parametrizada e um plano, e depois identificar a equação do paraboloide que contém esses pontos de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos onde a curva intersecta o plano. Para isso, substituímos as componentes paramétricas da curva na equação do plano. A curva tem:
x = t^2, y = -t, z = 2(t - 1)
Substituindo na equação do plano x + y + z = 0:
t^2 + (-t) + 2(t - 1) = 0
Vamos simplificar essa equação para encontrar o valor de t.

Passo 3

Simplificando a equação:
t^2 - t + 2t - 2 = 0 t^2 + t - 2 = 0
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de t. A gente pode usar a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1, b = 1 e c = -2. Calculando o discriminante:
De
Então, os valores de t são:
t = -1 pm 32
Ou seja, t = 1 e t = -2.

Passo 4

Vamos agora encontrar as coordenadas dos pontos de interseção substituindo t = 1 e t = -2 nas equações paramétricas da curva.
Para t = 1:
x = 1^2 = 1 y = -1 z = 2(1 - 1) = 0
Então, o ponto é (1, -1, 0).
Para t = -2:
x = (-2)^2 = 4 y = -(-2) = 2 z = 2(-2 - 1) = -6
Então, o ponto é (4, 2, -6).

Passo 5

Queremos encontrar a equação do paraboloide que contém esses pontos de interseção. Sabemos que um paraboloide pode ter a forma geral:
Az = (x - h)^2 + (y - k)^2
Vamos usar os pontos que encontramos para determinar os valores de A, h e k.
Primeiro, para o ponto (1, -1, 0):
A times 0 = (1 - h)^2 + (-1 - k)^2 0 = (1 - h)^2 + (-1 - k)^2
Isso implica que (1 - h) = 0 e (-1 - k) = 0, ou seja, h = 1 e k = -1.
Então, a equação fica:
Az = (x - 1)^2 + (y + 1)^2
Agora, usamos o segundo ponto (4, 2, -6) para encontrar A:
A times (-6) = (4 - 1)^2 + (2 + 1)^2 -6A = 9 + 9 -6A = 18 A = -3
Portanto, a equação do paraboloide é:
-3z = (x - 1)^2 + (y + 1)^2

Resposta

A equação correta do paraboloide é:
-3 z=(x-1)^2+(y+1)^2
Portanto, a opção correta é a quarta.

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