O conjunto dos pontos interseção da curva r(t) = t^2 i - t j + 2(t - 1) k plano x + y + z = 0 está contido no paraboloide de equação
Escolha uma opção:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma curva definida por e um plano descrito pela equação . A missão aqui é encontrar onde essa curva cruza o plano e mostrar que esses pontos estão dentro de um paraboloide específico. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a interseção entre uma curva parametrizada e um plano, e depois identificar a equação do paraboloide que contém esses pontos de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos onde a curva intersecta o plano. Para isso, substituímos as componentes paramétricas da curva na equação do plano. A curva tem:
Substituindo na equação do plano t:
Vamos simplificar essa equação para encontrar o valor de .

Passo 3

Simplificando a equação:
t
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . A gente pode usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , t e . Calculando o discriminante:
Então, os valores de são:
Ou seja, e .

Passo 4

Vamos agora encontrar as coordenadas dos pontos de interseção substituindo e nas equações paramétricas da curva.
Para :
Então, o ponto é .
Para :
Então, o ponto é .

Passo 5

Queremos encontrar a equação do paraboloide que contém esses pontos de interseção. Sabemos que um paraboloide pode ter a forma geral:
A
Vamos usar os pontos que encontramos para determinar os valores de h, k e .
Primeiro, para o ponto :
Isso implica que e , ou seja, e A.
Então, a equação fica:
Agora, usamos o segundo ponto para encontrar :
Portanto, a equação do paraboloide é:

Resposta

A equação correta do paraboloide é:
Portanto, a opção correta é a quarta.

Exercícios relacionados

Em cada item, calcule os dois lados e verifique que .
(b) e R é a região delimitada por z = x^2 + y^2 e z = 9.
Em cada item, calcule a integral .
(a) e C é a curva dada pelo arco da elipse y = 1/x de 1,1 e .
Calcule .
b) a fronteira do quadrado de vértices (0,0), (1,0), (1,1) e 0,1 e normal que aponta para fora do quadrado, sendo C orientada no sentido anti-horário.
Calcule .
d) F(x, y) = x i + y j, C é o arco da parábola e n a normal com componente y < 0.