O conjunto dos pontos interseção da curva
plano
está contido no paraboloide de equação
Escolha uma opção:
Escolha uma opção:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma curva definida por
e um plano descrito pela equação
. A missão aqui é encontrar onde essa curva cruza o plano e mostrar que esses pontos estão dentro de um paraboloide específico. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a interseção entre uma curva parametrizada e um plano, e depois identificar a equação do paraboloide que contém esses pontos de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos onde a curva intersecta o plano. Para isso, substituímos as componentes paramétricas da curva na equação do plano. A curva tem:
Substituindo na equação do plano
:
Vamos simplificar essa equação para encontrar o valor de
.
Passo 3
Simplificando a equação:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. A gente pode usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante:
Então, os valores de
são:
Ou seja,
e
.
Passo 4
Vamos agora encontrar as coordenadas dos pontos de interseção substituindo
e
nas equações paramétricas da curva.
Para
:
Então, o ponto é
.
Para
:
Então, o ponto é
.
Passo 5
Queremos encontrar a equação do paraboloide que contém esses pontos de interseção. Sabemos que um paraboloide pode ter a forma geral:
Vamos usar os pontos que encontramos para determinar os valores de
,
e
.
Primeiro, para o ponto
:
Isso implica que
e
, ou seja,
e
.
Então, a equação fica:
Agora, usamos o segundo ponto
para encontrar
:
Portanto, a equação do paraboloide é:
Resposta
A equação correta do paraboloide é:
Portanto, a opção correta é a quarta.
Exercícios relacionados
Em cada item, calcule os dois lados e verifique que
.
(b) e
é a região delimitada por
e
.
(b)
Em cada item, calcule a integral
.
(a) e
é a curva dada pelo arco da elipse
de
e
.
(a)
Calcule
.
b) a fronteira do quadrado de vértices
e
e
normal que aponta para fora do quadrado, sendo
orientada no sentido anti-horário.
b)
Calcule
.
d) ,
é o arco da parábola
e
a normal com componente
.
d)