Em cada item, calcule a integral integralC F cdot d r.
© F(x, y)=(1-y e^-x, e^-x) e C é qualquer curva com ponto inicial (0,1) e ponto final (1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha . Aqui, e é qualquer curva que começa no ponto e termina em . Para isso, vamos trabalhar com campos vetoriais e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial tal que . Se o campo for conservativo, a integral de linha vai depender apenas dos pontos inicial e final, o que facilita muito nosso cálculo.

Passo 3

Para saber se é conservativo, vamos comparar as derivadas parciais das componentes de . Seja , onde:
Calculamos as derivadas parciais:
Como , o campo é realmente conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que nabla phi = F é conservativo, vamos encontrar a função potencial partial phipartial x = P = 1 - y e^-x tal que:
phi(x, y) = integral (1 - y e^-x) dx = x + y e^-x + h(y)
Ou seja:
Para encontrar , integramos em relação a :
Aqui, é uma função de que aparece como constante de integração.

Passo 5

Para determinar partial phipartial y = e^-x + h'(y) = Q = e^-x , derivamos h'(y) = 0 em relação a h(y) = constante e igualamos a phi(x, y) = x + y e^-x :
Isso implica que:
Integrando novamente, temos:
Podemos considerar essa constante como zero para simplificar, então a função potencial fica:

Passo 6

Com a função potencial integralC F cdot d r = phi(1, 2) - phi(0, 1) encontrada, a integral de linha fica fácil de calcular:
phi(1, 2) = 1 + 2 e^-1
Calculando cada termo:
phi(0, 1) = 0 + 1 e^0 = 1
integralC F cdot d r = (1 + 2 e^-1) - 1 = 2 e^-1
Portanto:

Resposta

A integral vale .

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