Em cada item, calcule a integral
.
©
e
é qualquer curva com ponto inicial
e ponto final
.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
. Aqui,
e
é qualquer curva que começa no ponto
e termina em
. Para isso, vamos trabalhar com campos vetoriais e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Se o campo for conservativo, a integral de linha vai depender apenas dos pontos inicial e final, o que facilita muito nosso cálculo.
Passo 3
Para saber se
é conservativo, vamos comparar as derivadas parciais das componentes de
. Seja
, onde:
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, o campo
é realmente conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Ou seja:
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece como constante de integração.
Passo 5
Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que:
Integrando novamente, temos:
Podemos considerar essa constante como zero para simplificar, então a função potencial fica:
Passo 6
Com a função potencial
encontrada, a integral de linha fica fácil de calcular:
Calculando cada termo:
Portanto:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Em cada item, calcule a integral
diretamente e também pelo teorema do campo conservativo e verifique que o resultado é o mesmo.
© e
é o segmento de reta com ponto inicial
e ponto final
.
©
Em cada item, use o teorema do campo conservativo para calcular a integral
.
© e
é a elipse
com orientação no sentido anti-horário.
©
Em cada item, calcule a integral
.
(a) e
é a curva dada pelo arco da elipse
de
e
.
(a)
Em cada item, calcule os dois lados e verifique que
.
(b) e
é a região delimitada por
e
.
(b)