Em cada item, calcule a integral .
© e é qualquer curva com ponto inicial e ponto final .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha . Aqui, e é qualquer curva que começa no ponto e termina em . Para isso, vamos trabalhar com campos vetoriais e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial tal que . Se o campo for conservativo, a integral de linha vai depender apenas dos pontos inicial e final, o que facilita muito nosso cálculo.

Passo 3

Para saber se é conservativo, vamos comparar as derivadas parciais das componentes de . Seja , onde:
Calculamos as derivadas parciais:
Como , o campo é realmente conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial tal que:
Ou seja:
Para encontrar , integramos em relação a :
Aqui, é uma função de que aparece como constante de integração.

Passo 5

Para determinar , derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que:
Integrando novamente, temos:
Podemos considerar essa constante como zero para simplificar, então a função potencial fica:

Passo 6

Com a função potencial encontrada, a integral de linha fica fácil de calcular:
Calculando cada termo:
Portanto:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Em cada item, calcule a integral diretamente e também pelo teorema do campo conservativo e verifique que o resultado é o mesmo.
© e é o segmento de reta com ponto inicial e ponto final .
Em cada item, use o teorema do campo conservativo para calcular a integral .
© e é a elipse com orientação no sentido anti-horário.
Em cada item, calcule a integral .
(a) e é a curva dada pelo arco da elipse de e .
Em cada item, calcule os dois lados e verifique que .
(b) e é a região delimitada por e .