Em cada item, use o teorema do campo conservativo para calcular a integral .
© e é a elipse com orientação no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular a integral usando o teorema do campo conservativo. A função dada é e é uma elipse com a equação orientada no sentido anti-horário. Vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como aplicar esse teorema pra resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele é o gradiente de alguma função escalar , ou seja, . Uma das propriedades legais desse tipo de campo é que a integral de linha ao longo de qualquer caminho fechado é zero.

Passo 3

Agora, na nossa questão, a função que estamos integrando é exatamente . Isso já indica que é um campo conservativo, porque ela é o gradiente de . Então, a gente pode aplicar diretamente o teorema do campo conservativo.

Passo 4

Como é uma curva fechada (a elipse retorna ao ponto de partida) e é um campo conservativo, a integral vai ser zero, independente da forma da elipse ou da função .

Resposta

A integral é igual a zero.

Exercícios relacionados

Em cada item, use o teorema do campo conservativo para calcular a integral .
(a) e é a curva dada pela metade superior da elipse com orientação no sentido anti-horário.
Em cada item, use o teorema do campo conservativo para calcular a integral .
(d) é uma função qualquer e é uma curva fechada qualquer.
Em cada item, calcule a integral diretamente e também pelo teorema do campo conservativo e verifique que o resultado é o mesmo.
© e é o segmento de reta com ponto inicial e ponto final .
Em cada item, calcule a integral .
© e é qualquer curva com ponto inicial e ponto final .