Em cada item, use o teorema do campo conservativo para calcular a integral
.
©
e
é a elipse
com orientação no sentido anti-horário.
©
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular a integral
usando o teorema do campo conservativo. A função dada é
e
é uma elipse com a equação
orientada no sentido anti-horário. Vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como aplicar esse teorema pra resolver a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se ele é o gradiente de alguma função escalar
, ou seja,
. Uma das propriedades legais desse tipo de campo é que a integral de linha ao longo de qualquer caminho fechado é zero.
Passo 3
Agora, na nossa questão, a função
que estamos integrando é exatamente
. Isso já indica que
é um campo conservativo, porque ela é o gradiente de
. Então, a gente pode aplicar diretamente o teorema do campo conservativo.
Passo 4
Como
é uma curva fechada (a elipse retorna ao ponto de partida) e
é um campo conservativo, a integral
vai ser zero, independente da forma da elipse ou da função
.
Resposta
A integral
é igual a zero.
Exercícios relacionados
Em cada item, use o teorema do campo conservativo para calcular a integral
.
(a) e
é a curva dada pela metade superior da elipse
com orientação no sentido anti-horário.
(a)
Em cada item, use o teorema do campo conservativo para calcular a integral
.
(d) é uma função qualquer e
é uma curva fechada qualquer.
(d)
Em cada item, calcule a integral
diretamente e também pelo teorema do campo conservativo e verifique que o resultado é o mesmo.
© e
é o segmento de reta com ponto inicial
e ponto final
.
©
Em cada item, calcule a integral
.
© e
é qualquer curva com ponto inicial
e ponto final
.
©