Em cada item, determine se o espaço gerados pelos vetores indicados é o espaço vetorial .
b) e .
Passo 1
Beleza! Vamos lá: o exercício pede para a gente verificar se o espaço gerado pelos vetores , e é todo o espaço vetorial . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre independência linear e geração de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que os vetores geram . Isso quer dizer que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores. Para isso, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Para checar a independência linear, montamos uma matriz com esses vetores como colunas:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e geram .
Passo 4
Calculando o determinante de :
Passo 5
O determinante deu zero, o que significa que os vetores são linearmente dependentes. Portanto, eles não geram todo o espaço .