Em cada item, determine se o espaço gerados pelos vetores indicados é o espaço vetorial R^3.
b) v1=(2,1,-2), v2=(3,2,-2) e v3=(2,2,0).

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o exercício pede para a gente verificar se o espaço gerado pelos vetores , e é todo o espaço vetorial . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre independência linear e geração de espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que os vetores geram . Isso quer dizer que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores. Para isso, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Para checar a independência linear, montamos uma matriz com esses vetores como colunas:
A = 2 & 3 & 2 1 & 2 & 2 -2 & -2 & 0
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e geram .

Passo 4

Calculando o determinante de det(A) = 2 cdot (2 cdot 0 - (-2) cdot 2) - 3 cdot (1 cdot 0 - (-2) cdot 2) + 2 cdot (1 cdot (-2) - 2 cdot (-2)) :
det(A) = 2 cdot (0 + 4) - 3 cdot (0 + 4) + 2 cdot (-2 + 4)
det(A) = 2 cdot 4 - 3 cdot 4 + 2 cdot 2 = 8 - 12 + 4 = 0

Passo 5

O determinante deu zero, o que significa que os vetores são linearmente dependentes. Portanto, eles não geram todo o espaço .

Resposta

Os vetores e não geram o espaço vetorial .

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