Determine quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
c)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos o conjunto . Queremos saber se esse conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, precisamos verificar três propriedades fundamentais: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição vetorial e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

A primeira coisa que fazemos é verificar se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz a condição :
Isso é verdadeiro, então o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se é fechada sob adição vetorial. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em . Vamos considerar dois vetores e em . Pelo enunciado, sabemos que:
Agora, somamos os dois vetores:
Substituindo e :
Então, o terceiro componente da soma é igual à soma dos primeiros dois componentes, o que satisfaz a condição para estar em . Portanto, é fechada sob adição vetorial.

Passo 4

Por último, vamos verificar se é fechada sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos qualquer vetor em por um escalar qualquer , o vetor resultante também deve estar em . Vamos considerar um vetor em e um escalar . Multiplicando por :
Como , temos:
Então, o terceiro componente do vetor resultante também satisfaz a condição , garantindo que o vetor está em . Portanto, é fechada sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechada sob adição vetorial e sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

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Em cada item, determine se o espaço gerados pelos vetores indicados é o espaço vetorial .
a) e .
Determine quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
b)
Em cada item, determine se o espaço gerados pelos vetores indicados é o espaço vetorial .
b) e .
Quais dos seguintes vetores são combinação linear de e ?
c)