Determine quais dos conjuntos W abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
c) W=(x1, x2, x3) in R^3 mid x3=x1+x2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos o conjunto W = (x1, x2, x3) in R^3 mid x3 = x1 + x2 . Queremos saber se esse conjunto é um subespaço vetorial de R^3. Para isso, precisamos verificar três propriedades fundamentais: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição vetorial e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

A primeira coisa que fazemos é verificar se o vetor zero está em W. O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0). Vamos ver se ele satisfaz a condição x3 = x1 + x2:
0 = 0 + 0
Isso é verdadeiro, então o vetor zero está em W.

Passo 3

Agora, vamos verificar se W é fechada sob adição vetorial. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em W, a soma deles também deve estar em W. Vamos considerar dois vetores (x1, x2, x3) e (y1, y2, y3) em W. Pelo enunciado, sabemos que:
x3 = x1 + x2 e y3 = y1 + y2
Agora, somamos os dois vetores:
(x1 + y1, ; x2 + y2, ; x3 + y3)
Substituindo x3 e y3:
x3 + y3 = (x1 + x2) + (y1 + y2) = (x1 + y1) + (x2 + y2)
Então, o terceiro componente da soma é igual à soma dos primeiros dois componentes, o que satisfaz a condição para estar em W. Portanto, W é fechada sob adição vetorial.

Passo 4

Por último, vamos verificar se W é fechada sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos qualquer vetor em W por um escalar qualquer alpha in R, o vetor resultante também deve estar em W. Vamos considerar um vetor (x1, x2, x3) em W e um escalar alpha. Multiplicando por alpha:
(alpha x1, ; alpha x2, ; alpha x3)
Como x3 = x1 + x2, temos:
alpha x3 = alpha (x1 + x2) = alpha x1 + alpha x2
Então, o terceiro componente do vetor resultante também satisfaz a condição x3 = x1 + x2, garantindo que o vetor está em W. Portanto, W é fechada sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como W contém o vetor zero, é fechada sob adição vetorial e sob multiplicação por escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de R^3.

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