Determine quais dos conjuntos
abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
c)
c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos o conjunto
. Queremos saber se esse conjunto é um subespaço vetorial de
. Para isso, precisamos verificar três propriedades fundamentais: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição vetorial e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
A primeira coisa que fazemos é verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz a condição
:
Isso é verdadeiro, então o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechada sob adição vetorial. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
. Vamos considerar dois vetores
e
em
. Pelo enunciado, sabemos que:
Agora, somamos os dois vetores:
Substituindo
e
:
Então, o terceiro componente da soma é igual à soma dos primeiros dois componentes, o que satisfaz a condição para estar em
. Portanto,
é fechada sob adição vetorial.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechada sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos qualquer vetor em
por um escalar qualquer
, o vetor resultante também deve estar em
. Vamos considerar um vetor
em
e um escalar
. Multiplicando por
:
Como
, temos:
Então, o terceiro componente do vetor resultante também satisfaz a condição
, garantindo que o vetor está em
. Portanto,
é fechada sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechada sob adição vetorial e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Em cada item, determine se o espaço gerados pelos vetores indicados é o espaço vetorial
.
a) e
.
a)
Determine quais dos conjuntos
abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
b)
b)
Em cada item, determine se o espaço gerados pelos vetores indicados é o espaço vetorial
.
b) e
.
b)
Quais dos seguintes vetores são combinação linear de
e
?
c)
c)