Quais dos seguintes vetores são combinação linear de v1=(5,-3,1), v2=(0,4,3) e v3= (-10,18,7) ?
c) (-2,-1,1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 = (-2, -1, 1) , e . Queremos descobrir se o vetor pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores. Isso significa encontrar números , e tais que:
Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações e ver se existe uma solução.

Passo 2

Vamos traduzir a combinação linear em equações. Multiplicamos cada componente dos vetores pelos coeficientes a cdot 5 + b cdot 0 + c cdot (-10) = -2 (componente x) , a cdot (-3) + b cdot 4 + c cdot 18 = -1 (componente y) e a cdot 1 + b cdot 3 + c cdot 7 = 1 (componente z) e igualamos às componentes do vetor dado:
5a - 10c = -2 -3a + 4b + 18c = -1 a + 3b + 7c = 1
Então, nosso sistema de equações fica:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da primeira equação:
5a - 10c = -2
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 5:
a - 2c = -25
a = 2c - 25 (Equação 1) çã

Passo 4

Agora, substituímos o valor de -3(2c - 25) + 4b + 18c = -1 da Equação 1 nas outras duas equações.
Primeira substituição na segunda equação:
-6c + 65 + 4b + 18c = -1
12c + 4b = -1 - 65
12c + 4b = -115
3c + b = -1120 (Equação 2)
çã

Passo 5

Agora, substituímos (2c - 25) + 3b + 7c = 1 na terceira equação:
2c - 25 + 3b + 7c = 1
9c + 3b = 1 + 25
9c + 3b = 75
3c + b = 715 (Equação 3)
çã

Passo 6

Agora temos duas equações com duas incógnitas:
3c + b = -1120 (Equação 2) 3c + b = 715 (Equação 3) çãçã
Observamos que ambas as equações têm igual a valores diferentes, o que é impossível. Isso significa que não existe uma solução que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Resposta

O vetor não é uma combinação linear dos vetores , e .

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